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Mathematik » Schulmathematik » Beweis oder Zirkelschluss?
Thema eröffnet 2017-07-01 16:54 von Bekell
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Schule Beweis oder Zirkelschluss?
Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.120, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-25


(2017-07-25 16:36 - weird
Wenn du was addierst?  confused


na 838 und 167 ....


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.121, eingetragen 2017-07-25


2017-07-25 17:15 - Bekell in Beitrag No. 120 schreibt:
(2017-07-25 16:36 - weird
Wenn du was addierst?  confused


na 838 und 167 ....

Woher kommt 167 und zu welchem Zweck willst du diese 2 Zahlen addieren?  confused



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.122, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-25


2017-07-25 18:16 - weird in Beitrag No. 121 schreibt:
2017-07-25 17:15 - Bekell in Beitrag No. 120 schreibt:
(2017-07-25 16:36 - weird
Wenn du was addierst?  confused
na 838 und 167 ....

Woher kommt 167 und zu welchem Zweck willst du diese 2 Zahlen addieren?  confused

167 sind PZ unter 1000. Warum addieren? Weil die Anzahl der PZ unter n  8 auch 3 war, und 3 und 5 ( 4, nochwas 8 ergab. Da war der Fehler unter der Marke, bei n 1000 ist er über .... oder irre ich total?


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.123, eingetragen 2017-07-25


2017-07-25 19:55 - Bekell in Beitrag No. 122 schreibt:
2017-07-25 18:16 - weird in Beitrag No. 121 schreibt:
2017-07-25 17:15 - Bekell in Beitrag No. 120 schreibt:
(2017-07-25 16:36 - weird
Wenn du was addierst?  confused
na 838 und 167 ....

Woher kommt 167 und zu welchem Zweck willst du diese 2 Zahlen addieren?  confused

167 sind PZ unter 1000. Warum addieren? Weil die Anzahl der PZ unter n  8 auch 3 war, und 3 und 5 ( 4, nochwas 8 ergab. Da war der Fehler unter der Marke, bei n 1000 ist er über .... oder irre ich total?

Ich versteh einfach nur Bahnhof, um ehrlich zu sein. Unsere Rechnung in #115 hatte ergeben, dass etwa 838 Zahlen von den 1000 ungeraden aufeinanderfolgenden Zahlen einen Primfaktor <1000 haben, d.h., die restlichen 162 (=1000-838) Zahlen sollten dann einen kleinsten Primfaktor >1000 haben. Wenn man sich als Beispiel konkret das interqu. Intervall der Länge 1000 ansieht, welches ja ebenfalls aus 1000 aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen besteht, dann gibt es relativ geringe Abweichungen von diesen Schätzungen: 848 (statt geschätzt 838) Zahlen davon sind zusammengesetzt, somit dann 152 (statt geschätzt 162) prim. Wo du also deine Zahl 167 herhast, ist mir nach wie vor vollkommen schleierhaft.  confused



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.124, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-25


Das war eine Trugschluss von mir, ich vermutete, daß die Zahlen sich genauso verhalten, wie Prim zu z.Z, - was aber falsch ist, denn unter 1000 gibt es 167 Primzahlen und nur 333 z.Z.

Ist also vollkommen fehl am Platze .... Entschuldigung.

Um das Ganze noch einmal einzuordnen: ich suchte das Erstvorkommen eines zZ-Intervalles der Länge 8 zum Zwecke meines Beweises, und Du beantwortest die Frage nach dem prinzipiell untersten Vorkommen, indem Du das maximale Vorkommen der unter-n-langen PZ als Primfaktoren in einen n-langen zZ-Intervall mit Deiner Formel für alle n beantwortest hast. Mit dieser Zahl läßt sich dann genau das Erstvorkommen eines quadratfreien zZ-Intervalles der Länge n feststellen, indem man die Fehlstellen mit unterschiedlichen  über-n-langen PZ auffüllt, und die höchste mal der nächsthöheren nimmt.

Jetzt noch zu deinem Statement von Oben: Du hättest kein Intervall gefunden, in dem nicht mindestens 2 - über-n-große PZ eingefügt werden mussten.

Das bedeutet in der Tat, daß, wie ich oben schrieb, sich kein zZ-Intervall der Länge n nur mit PZ von unter n dicht ausfüllen lassen. Nur  - die numerische Bestätigung dieses Gedankens ist kein Beweis des Satzes.

Wenn das alles so ist, können wir diesen Thread eigentlich beenden ... E waren letztlich 2 Dinge, die abgehandelt worden sind, und so lange Threads - sind die sinnvoll?




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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.125, eingetragen 2017-07-25


2017-07-25 20:30 - Bekell in Beitrag No. 124 schreibt:
Um das Ganze noch einmal einzuordnen: ich suchte das Erstvorkommen eines zZ-Intervalles der Länge 8

Was zur Hölle ist bei dir ein zZ-Intervall der Länge 8? Ist es eine Folge von 8 aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen, welche alle zusammengesetzt sind? Wenn ja, warum beschreibst du sie dann nicht so mit gängigen mathematischen Begriffen, wenn nein, was ist es dann?  confused



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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.126, eingetragen 2017-07-25


Interessiert sich denn niemand für meine Grenzwerte? :-(

Der erste Grenzwert von 0,66... für die 5 scheint ja recht klar zu sein... Jede dritte 5 kann nicht platziert werden, weil dort schon eine 3 sitzt.

Für die 7 ergibt sich irgendwas mit 0,533...

Die Frage ist: Wann wiederholt sich ein Muster?

Es sieht folgendermaßen aus:



Das Muster der 3 wiederholt sich nach 3 Plätzen... Is klar...

Das Muster für 3 und 5 wiederholen sich nach 15 Plätzen... Kann man auch noch nachvollziehen...

Muster für 3,5 und 7: 105 Plätzen...

Muster für 3,5,7 und 11: 1155 Plätze...

Was fällt auf? Die Länge des Musters erweitert sich immer um die Länge des vorherigen Musters multipliziert mit der nächsten Primzahl:

<math>3 \cdot 5=15</math>

<math>15 \cdot 7=105</math>

<math>105 \cdot 11=1155</math>

<math>1155 \cdot 13=15015</math>

<math>15015 \cdot 17=255255</math>




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Gruß blindmessenger



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.127, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-25


2017-07-25 21:01 - weird in Beitrag No. 125 schreibt:
2017-07-25 20:30 - Bekell in Beitrag No. 124 schreibt:
Um das Ganze noch einmal einzuordnen: ich suchte das Erstvorkommen eines zZ-Intervalles der Länge 8

Was zur Hölle ist bei dir ein zZ-Intervall der Länge 8? Ist es eine Folge von 8 aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen, welche alle zusammengesetzt sind? Wenn ja, warum beschreibst du sie dann nicht so mit gängigen mathematischen Begriffen, wenn nein, was ist es dann?  confused

Also, ich hatte damals uNPZ-Intervall gesagt, und dann hast Du gesagt, ich solle statt uNPZ lieber (ungerade) zusammengesetzte Zahl sagen...., nun sag ich das, und du moserst rum. Aber, ich entsinne, mich Du hattest noch einen besseren Ausdruck, aber ich find das Posting nicht .... Intervall ungerader positiver ganzer Zahlen, glaube ich, sagtest Du, ist es so recht? Also müßte ich upgz-Intervall sagen, oder? Was findest Du besser?


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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.128, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-25


2017-07-25 21:57 - blindmessenger in Beitrag No. 126 schreibt:
Interessiert sich denn niemand für meine Grenzwerte? :-(

Der erste Grenzwert von 0,66... für die 5 scheint ja recht klar zu sein... Jede dritte 5 kann nicht

Aua, das hast Du Dich mit den Primfakultäten echt was gefunden .....

de.wikipedia.org/wiki/Primorial

Aber macht nichts, ich hab den Begriff auch erst vor kurzem kennengelernt.


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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.129, eingetragen 2017-07-25


Es ging mir jetzt weniger um die Primfakultät als darum wie man diese ungeraden Zahlen mit Primzahlen bepflastert...


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Gruß blindmessenger



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.130, eingetragen 2017-07-25


2017-07-25 21:57 - blindmessenger in Beitrag No. 126 schreibt:
Interessiert sich denn niemand für meine Grenzwerte? :-(

Der erste Grenzwert von 0,66... für die 5 scheint ja recht klar zu sein... Jede dritte 5 kann nicht platziert werden, weil dort schon eine 3 sitzt.

Für die 7 ergibt sich irgendwas mit 0,533...

Ja, deine "Grenzwerte" sind offenbar die Zahlen 0.666, 0.533, 0.457 usw. in deiner Formel

<math>\lceil \frac{20}{3} \rceil + \lceil \lceil \frac{20}{5} \rceil \cdot 0,666\rceil+ \lceil \lceil \frac{20}{7} \rceil \cdot 0,533\rceil + \lceil \lceil \frac{20}{11} \rceil \cdot 0,457\rceil + \lceil \lceil \frac{20}{13} \rceil \cdot 0,416\rceil+ \lceil \lceil \frac{20}{17} \rceil \cdot 0,384\rceil+ \lceil \lceil \frac{20}{19} \rceil \cdot 0,361\rceil=16</math>

und die in diesem Beispiel <math>n=20</math> auf den doch etwas obskuren Wert 16 führen. Wie ich das ja schon ausgeführt habe, ist dies nämlich weder der größtmögliche Wert für die Anzahl der Zahlen in einer Folge von 20 aufeinanderfolgender ungeraden Zahlen mit kleinsten Primteiler <20 (dieser ist wie gesagt 18), noch der durchschnittliche Wert dafür (der ist etwa 13). Er ist also irgendwo dazwischen "im Niemandsland" und ich weiß daher nicht so recht was er mir eigentlich sagen soll. Zudem schreibst du deine "Grenzwerte" leider nicht als Formeln in unvereinfachter Bruchdarstellung an, aus denen man dann ersehen kann, wie sie berechnet wurden.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.126 begonnen.]



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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.131, eingetragen 2017-07-25


Der "Grenzwert" für eine bestimmte Primzahl ist einfach nur der Quotient aus der maximal möglichen Platzierung und der "realen" also abzüglich der schon besetzten Plätze durch eine kleinere Primzahl wenn wir n immer größer werden lassen...




-----------------
Gruß blindmessenger



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.132, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-25


(2017-07-25 22:36 - weird i

....ist dies nämlich weder der größtmögliche Wert für die Anzahl der diverser Zahlen in einer Folge von 20 aufeinanderfolgender ungeraden Zahlen mit kleinsten Primteiler <20 (dieser ist wie gesagt 18), noch der durchschnittliche Wert dafür (der ist etwa 13)....

 Ich dachte immer, die rund 13 wären der kleinste Wert? Was ist denn nun der kleinste Wert?
Wieviel verschiedene Zahlen braucht man wirklich mindestens?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.130 begonnen.]


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weird
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2017-07-25 22:51 - Bekell in Beitrag No. 132 schreibt:
(2017-07-25 22:36 - weird i

....ist dies nämlich weder der größtmögliche Wert für die Anzahl der diverser Zahlen in einer Folge von 20 aufeinanderfolgender ungeraden Zahlen mit kleinsten Primteiler <20 (dieser ist wie gesagt 18), noch der durchschnittliche Wert dafür (der ist etwa 13)....

Ich dachte immer, die rund 13 wären der kleinste Wert?

Schau nochmals den Beitrag #101 an, da hatte ich klar vom "worst case" und vom "average case" gesprochen. Offenbar hast du diese Begriffe dann falsch übersetzt.

Was ist denn nun der kleinste Wert?
Wieviel verschiedene Zahlen braucht man wirklich mindestens?

Das ist wieder eine andere Frage, mit der ich mich allerdings noch nicht beschäftigt habe, da sie im Zusammenhang mit dem Grundproblem hier ("Können  interqu. Intervalle einer positiven Länge n primzahlfrei sein?") keine Rolle spielt.



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.134, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-26


2017-07-25 23:10 - weird in Beitrag No. 133 schreibt:
2017-07-25 22:51 - Bekell in Beitrag No. 132 schreibt:
(2017-07-25 22:36 - weird i

....ist dies nämlich weder der größtmögliche Wert für die Anzahl der diverser Zahlen in einer Folge von 20 aufeinanderfolgender ungeraden Zahlen mit kleinsten Primteiler <20 (dieser ist wie gesagt 18), noch der durchschnittliche Wert dafür (der ist etwa 13)....

Ich dachte immer, die rund 13 wären der kleinste Wert?

Schau nochmals den Beitrag #101 an, da hatte ich klar vom "worst case" und vom "average case" gesprochen. Offenbar hast du diese Begriffe dann falsch übersetzt.

Ja, denn "worst case" heißt ja nur schlechtester Fall. Und was für den einen der schlechteste Fall ist, kann für den anderen aus einer anderen Perspektive der beste Fall sein. Z.B finden die Füchse es super, wenn die Hühner frei draußen rumlaufen. Unter den Regenwürmern ist allerdings das Gegenteil Konsens.

Gruß und Dank an  Alle!


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.135, eingetragen 2017-07-26


2017-07-26 08:01 - Bekell in Beitrag No. 134 schreibt:
Ja, denn "worst case" heißt ja nur schlechtester Fall. Und was für den einen der schlechteste Fall ist, kann für den anderen aus einer anderen Perspektive der beste Fall sein. Z.B finden die Füchse es super, wenn die Hühner frei draußen rumlaufen. Unter den Regenwürmern ist allerdings das Gegenteil Konsens.

Naja, es geht ja hier wohl nicht darum, was der eine oder andere, also dann "Hinz und Kunz", für den schlechtesten Fall halten, auch irgendwelche Spezies aus der Tierwelt, wie Füchse, Hühner oder Regenwürmer, welche nur ihren Instinkten folgen, können nur sehr bedingt für einen Vergleich herangezogen werden!

Nein, es geht hier einzig und allein um dich selbst und deine Einschätzung, welche der hier auftretenden "Muster" in Hinblick auf die Lösung deines in Rede stehenden Problems als gut bzw. schlecht einzustufen sind. Dafür müsste allerdings bei dir auch ein tiefergehendes Verständnis für die eigenen Lösungsansätze vorhanden sein, doch mehren gerade Aussagen wie deinige obige meine Zweifel, ob diese Voraussetzung hier wirklich erfüllt ist!  cool

PS: Resümierend möchte ich feststellen, dass wohl alles dafür spricht, dass die Vermutung von Legendre wahr ist bzw. in deiner Sprechweise interqu. Intervalle einer positiven Länge n stets Primzahlen enthalten. Ob allerdings auch die stärkere Aussage gilt, auf welche deinen Überlegungen ja aufbauen, dass nämlich jede Folge von n aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen auch Zahlen enthält, deren kleinster Primteiler >n ist, lässt sich m.E. nur schwer abschätzen, zumal auch der Aufwand für Computerrechnungen, um zu überprüfen, ob dies für ein konkretes n im "worst case" in Hinblick auf die Verteilung der Primteiler noch gilt, sehr stark ansteigt. Falls ich aber dazu noch etwas herausfinde, melde ich mich noch einmal.



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.136, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-26


2017-07-26 15:26 - weird in Beitrag No. 135 schreibt:

Ob allerdings auch die stärkere Aussage gilt, auf welche deinen Überlegungen ja aufbauen, dass nämlich jede Folge von n aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen auch Zahlen enthält, deren kleinster Primteiler >n ist, lässt sich m.E. nur schwer abschätzen, ..

Du meinst:  ".. auf welcher Deine Überlegungen ...." - das ist sonst mißverständlich.
Danke für alles ...


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cyrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.137, eingetragen 2017-07-26


2017-07-26 15:26 - weird in Beitrag No. 135 schreibt:
Ob allerdings auch die stärkere Aussage gilt, auf welche deinen Überlegungen ja aufbauen, dass nämlich jede Folge von n aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen auch Zahlen enthält, deren kleinster Primteiler >n ist, lässt sich m.E. nur schwer abschätzen

Also zumindest kann man relativ einfach für jedes n eine Folge von n aufeinander folgenden ungeraden Zahlen angeben, in der n-2 Zahlen einen Primteiler <= n besitzen:

a) Sei n=2k. Dann betrachte die Folge n!-(n-1), n!-(n-3), ... n!-1, n!+1, ... , n!+(n-1). Das sind n aufeinanderfolgende ungerade Zahlen, wobei n!+-i offensichtlich durch i teilbar ist, wenn i<n. Allein <math>n! \pm 1</math> besitzen hierbei keinen Primteiler < n.

b) Sei n=2k+1. Dann betrachte die Folge n!-n, n!-(n-2), ... , n!-1, ... n!+(n-2). Analog folgt, dass nur die "mittleren" Terme keinen Primfaktor von höchstens n besitzen.


Dies bedeutet, dass die Aussage, falls sie richtig sein sollte, nur haarscharf gilt. Also insbesondere deutlich schwerer zu beweisen sein wird als die eigentlich hier betrachtete Vermutung, dass zwischen zwei Quadratzahlen immer eine Primzahl liegt, was meilenweit weg von den Abschätzungen des Primzahlsatzes ist, also quasi fast sicher stimmen wird.


Cyrix



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.138, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-26


@Cyrix,

bist Du so freundlich, und gehst einmal auf Beitrag Nr. 23 dieses Threads ein. Ich poste das hier nochmal:


Was ich nicht verstehe ist, warum man nicht zwei Grafen nebeneinanderstellt, einen der den Längenzuwachs des interquadratischen Intervalles darstellt, eine einfache schräge Linie, und einen anderen der das Auftreten der frühesten Ketten zusammengesetzter Zahlen der diversen Längen darstellt, der einen ganz anderen Anstieg hat, und die imho irgendwie krumm ist. Und wenn diese beiden Graphen voneinander wegstreben, ist das denn nicht ein Beweis? Ich habe das auch hier erbeten, im Themensstart, letzter Satz und im letzten Beitrag.

Man sagt doch auch: ... diese Folge konvergiert, die andere divergiert, also ....
... und nimmt diese Bildchen mit Koordinatensystem als Beweis ...


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.139, eingetragen 2017-07-26


2017-07-26 18:19 - cyrix in Beitrag No. 137 schreibt:
Dies bedeutet, dass die Aussage, falls sie richtig sein sollte, nur haarscharf gilt. Also insbesondere deutlich schwerer zu beweisen sein wird als die eigentlich hier betrachtete Vermutung, dass zwischen zwei Quadratzahlen immer eine Primzahl liegt, was meilenweit weg von den Abschätzungen des Primzahlsatzes ist, also quasi fast sicher stimmen wird.

Ja, eine sehr interessante Beobachtung! Wie ich bis n=22 nachgerechnet habe, sind für diese n deine Beispiele oben auch tatsächlich Repräsentanten für den "worst case", oft bis auf "Spiegelungen an der Mitte" auch die einzigen.



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.140, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-26


(2017-07-26 18:19 - cyrix
a) Sei n=2k. Dann betrachte die Folge n!-(n-1), n!-(n-3), ... n!-1, n!+1, ... , n!+(n-1). Das sind n aufeinanderfolgende ungerade Zahlen, wobei n!+-i offensichtlich durch i teilbar ist, wenn i<n. Allein <math>n! \pm 1</math> besitzen hierbei keinen Primteiler < n.

b) Sei n=2k+1. Dann betrachte die Folge n!-n, n!-(n-2), ... , n!-1, ... n!+(n-2). Analog folgt, dass nur die "mittleren" Terme keinen Primfaktor von höchstens n besitzen.


Das hatte ich doch optisch schon hier berichtet .... wenn ich nicht mißverstehe....




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