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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionentheorie » Anzahl der Nullstellen bestimmen
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Universität/Hochschule J Anzahl der Nullstellen bestimmen
Limesine
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-07-16 16:23


Guten Tag.

Ich habe hier eine Aufgabe vor mir, bei der ich nicht so recht weiter weiß. Ich soll die Nullstellen von <math>f(z) = z^5 + iz^3 - 4z + i</math> für <math>1 < |z| < 2</math> berechnen.

Ich habe schon versucht eine Nullstelle zu raten, um dann mittels Polynomdivison alle anderen Nullstellen zu berechnen. War jedoch leider ohne Erfolg hier. Die Nullstellen liegen bei sehr krummen Zahlen, die man nicht raten kann.

Mein nächster Ansatz war es die Anzahl der Nullstellen mit dem Nullstellenzählenden Integral <math>\frac{1}{2\pi i} \int \frac{f'}{f}</math> zu berechnen, welches in der Vorlesung vorkam. Aber auch hier bin ich daran gescheitert, weil ich die Residuen von <math>\frac{f'}{f}</math> bzw. die Nullstellen von <math>f</math> berechnen müsste.

Mehr ist mir zu der Lösung des Problems auch nicht mehr eingefallen. Würde mich über ein paar Tipps sehr freuen.

Edit: Mir ist eingefallen, dass wir den Satz von Rouché eingeführt hatten. Ich werde mal versuchen die Aufgabe damit zu lösen und melde mich später wieder.



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Limesine
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-16 18:01


Um die Anzahl der Nullstellen von <math>f</math> zu finden, muss ich doch ein Polynom <math>g</math> finden, sodass <math>|f(z)-g(z)|<|f(z)|</math> gilt. Wenn das gilt, sind die Anzahl der Nullstellen von <math>f</math> und <math>g</math> gleich.

<math>f(z) = z^5 + iz^3 - 4z + i</math> und ich wähle <math>g(z) = z^5 - 4z</math>.
<math>g</math> hat offensichtlich 4 Nullstellen, für die <math>1 < |z| < 2</math> gilt.
Dann erhalte ich <math>|f(z)-g(z)| = |iz^3 + i| \leq |z|^3 + 1</math>.

Für <math>|z|=1</math> gilt <math>|f(z)-g(z)| \leq 2 < 7 \leq |f(z)|</math> und für <math>|z|=2</math> gilt <math>|f(z)-g(z)| \leq 9 < 49 \leq |f(z)|</math>.

Ist meine Vorgehensweise richtig? Ich habe mein <math>g</math> recht zufällig gewählt, weil ich mit dieser Wahl meiner Hilfsfunktion sofort erkennen konnte, wie viele Nullstellen die Bedingung <math>1 < |z| < 2</math> erfüllen. Gibt es da eine systematischere Vorgehensweise oder muss man da rumraten, bis man etwas passendes findet?



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-07-16 22:36


deine Beweisidee ist doch die Folgende:

1. du willst beweisen, dass in dem Kreisring 4 Nullstellen liegen
2. wenn du dann beweist, dass 4 Nullstellen in dem Kreisring 1 < r < 2 musst du z.B. dann noch zeigen, dass genau eine innerhalb des Kreisrings r < 1  liegt.

3. Diesen 2. Teil vermisse ich in deinem Beweis.

Ausserdem: die Aufteilung eines Polynoms in g(z) und f(z) ist Erfahrungssache  und bei jeder Aufgabenstellung verschieden.

Gruss Dietmar      

 



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-07-16 23:32


Hallo Limesine,
die Ungleichung <math>|f(z)-g(z)|<|f(z)|</math> ist nicht so leicht nachzuweisen, wie Deine Rechnung es erscheinen lässt.
Du vergleichst die oberen Schranken <math>2>|f(z)-g(z)|</math> und <math>7>|f(z)|</math> für <math>|z|=1</math>.

Das folgende Bild zeigt, dass die untere Schranke von <math>|f(z)|</math> kleiner als die obere Schranke 2 von <math>|f(z)-g(z)|</math> ist.



Servus,
Roland


[Verschoben aus Forum 'Funktionen' in Forum 'Funktionentheorie' von rlk]



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Limesine
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-17 00:37


@dietmar0609: Könnte ich dies nachweisen, in dem ich ein Polynom wie z.B. <math>g(z) = -4z + i</math> betrachte, welches nur eine Nullstelle <math>\frac{i}{4}</math> hat, um dann für <math>|z| < 1</math> die Ungleichung <math>|f(z)-g(z)| < |f(z)|</math> zu zeigen?

@rlk: Danke für den Hinweis, da habe ich es mir wohl leider zu einfach gemacht. Ich weiß aber leider nicht, wie ich die Ungleichung korrekt nachweisen kann. Kannst du mir da vielleicht unter die Arme greifen? Würde mich mein gewähltes Polynom überhaupt zum Ziel führen?



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-07-17 01:05


Ich schau morgen mal in aller Ruhe rein. Mir fällt auf, dass Betrag des Koeffizienten von z (=4) grösser ist als die Summe der drei anderen. Vielleicht kann man damit etwas anfangen.

Gruss Dietmar

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-07-17 14:14


so, ich hab nochmal reingeschaut, hier mein Vorschlag:

fed-Code einblenden



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-07-17 21:15


Ich finde wortloses Abhaken nicht so toll ....

Dietmar



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Limesine
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-18 00:17


Tut mir leid. Ich hatte mittlerweile nur das Gefühl, dass das Abhaken von den Usern genauso als ein "Danke" angesehen wird. Das heißt natürlich nicht, dass ich dir weniger dankbar für deine Hilfe wäre.
Ich wollte auch den Thread nicht noch einmal nach oben pushen, wenn es schon geklärt ist und ungeklärte Fragen eher nach weiter oben gehören.




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