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Strukturen und Algebra » Moduln » zyklische Moduln
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Universität/Hochschule zyklische Moduln
kiwi001
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-07-16


Hey, Ich habe eine Aufgabe zu zyklischen Modulen bei der ich nicht so wirklich weiter weiß.

Sei <math>A</math> ein kommutativer Ring, sei <math>M</math> ein zyklischer A-Modul und <math>\varphi : M \rightarrow M</math> eine <math>A</math>-lineare Abbildung. Dann gibt es ein <math>a\in A</math> mit <math> \varphi (x) = ax</math> für alle <math> x\in M</math>.

Jetzt weiß ich ja, dass jedes <math>x\in M</math> ein Untermodul von M ist, da M zyklisch ist und es existiert ein <math>a\in A</math>,sodass ax = Ax ist. Da die Abbildung nun <math>M \rightarrow M</math> ist, muss es folglich ein <math>a \in A</math> geben, sodass <math> \varphi (x) = ax</math> für alle <math> x\in M</math> gilt. Das wäre meine Überlegung aber ich weiß nicht ob das so stimmt.

Würde mich über Hilfe freuen. smile



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hippias
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-07-16



Jetzt weiß ich ja, dass jedes <math>x\in M</math> ein Untermodul von M ist, da M zyklisch ist und es existiert ein <math>a\in A</math>,sodass ax = Ax ist. Da die Abbildung nun <math>M \rightarrow M</math> ist, muss es folglich ein <math>a \in A</math> geben, sodass <math> \varphi (x) = ax</math> für alle <math> x\in M</math> gilt. Das wäre meine Überlegung aber ich weiß nicht ob das so stimmt.
Das ist unsinning. Wie lautet die Definition eines zyklischen Moduls?



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kiwi001
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-16


Sei M ein A-Modul. Für jedes <math>x\in M</math> ist <math>Ax := \{ax: a\in A\}</math> ein Untermodul von M. A-Moduln von dieser Form heißen zyklisch. So haben wir es im Skript definiert.



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-07-16


Gut - ich hoffe, Du siehst den Unterschied zu dem, was Du zuerst geschrieben hast.

Was also sagt Dir die Definition über <math>M</math>?



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kiwi001
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-16


Hmm eigentlich sagt es mir doch nur, dass es Untermoduln <math>Ax := \{ax : a\in A \}</math> für alle <math>x\in M</math> gibt. Ich weiß aber leider nicht wie mir das jetzt weiterhilft...



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-07-17


Das ist zwar richtig, hat aber eigentlich nichts mit Deinem Problem zu tun.

Vervollständige: Der <math>A</math>-Modul <math>M</math> heisst zyklisch, wenn ...



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kiwi001
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-17


Der <math>A</math>-Modul <math>M</math> heißt zyklisch, wenn <math>M</math> von einem Element erzeugt wird, also <math>M=Ax</math> für ein <math>x\in M</math>. Hoffe ich jetzt mal.  confused



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-07-17


Richtig gehofft -  jetzt sind endlich die Begrifflichkeiten geklärt.

Sei also <math>M= Ax</math> für ein <math>x\in M</math>. Wie kannst Du <math>x^{\phi}</math> also darstellen? Was bedeutet das für das Bild unter <math>\phi</math> von einem beliebigem <math>m\in M</math>?



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kiwi001
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-18


Dann muss doch gelten <math>\phi (x)=am</math> für ein <math>x,m\in M</math>und ein <math>a\in A</math>.



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