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Mathematik » Stochastik und Statistik » gemischte Verteilungsfunktion, vollständige Dichte
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Universität/Hochschule J gemischte Verteilungsfunktion, vollständige Dichte
caro155
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.07.2017
Mitteilungen: 15
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-07-17


Hi,
das ist meine erste Frage in diesem Forum.
Ich bin ein bisschen verzweifelt und komme nicht weiter.

Ich habe eine gemischte Verteilungfunktion
fed-Code einblenden
Von dieser Verteilungsfuntkion muss ich die Dichte angeben.
Die Dichte bekomme ich durch das Ableiten der Verteilungsfuntkion an den Stellen wo sie differenzierbar ist. Das Ergebnis = x/3.

fed-Code einblenden .
2/3 < 1 also ist dies nicht die vollständige Dichte. Jetzt meine Frage wie komme ich auf die vollständige Dichte?

lg.



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DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 1182
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-07-17


Schau dir mal die Stelle x=0 an.


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Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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caro155
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.07.2017
Mitteilungen: 15
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-17


das ist der diskrete Punkt x=0,=> 1/3. Muss ich 1/3 zu x/3 dazu addieren?



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PhysikRabe
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.12.2009
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Aus: Wien, Österreich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-07-17


Im rechtsseitigen Limes ist der Wert 1/3, ja. Die Verteilungsfunktion hat also eine Stelle, an der sie nicht stetig ist; die zugehörige Zufallsvariable ist also quasi eine Mischung aus einer diskreten (bei x=0) und einer stetigen Zufallsvariable. Die Dichte des stetigen Teils hast du durch Differenzieren bereits erhalten. Den diskreten Anteil kannst du als Dirac-Maß auffassen und auf diese Weise auch als eine Art Dichte schreiben.

Grüße,
PhysikRabe


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"Non est ad astra mollis e terris via" - Seneca
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caro155
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Mitteilungen: 15
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-17


Leider kenne ich mich mit den Begriff Dirakmaß nicht aus.
Ich dachte, dass x/3+1/3 meine vollstädnige Dichte ist. Kann es aber ja nicht sein, da:  

fed-Code einblenden



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DerEinfaeltige
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Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 1182
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-07-17


Nein, das kann nicht sein, da du ja selbst erkannt hast, dass die Verteilungsfunktion nicht stetig ist.
Die Dichtefunktion besitzt an der Stelle x=0 zusätzlich einen unendlich hohen und schmalen Impuls mit Flächeninhalt 1/3.
Erst dahinter gilt deine einfache Verteilungsdichtefunktion, die auf dem Intervall (0;2] auch sicherlich das gewünschte Ergebnis liefert.


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dromedar
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Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 4554
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-07-17


2017-07-17 14:18 - caro155 in Beitrag No. 4 schreibt:
[...] meine vollstädnige Dichte [...]

Was verstehst Du denn eigentlich unter einer "vollständigen Dichte"?

Du hast doch im Startbeitrag schon hingeschrieben, dass es sich um eine gemischte Verteilung handelt, also eine, die durch eine Dichte allein nicht beschrieben wird.



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caro155
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.07.2017
Mitteilungen: 15
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-17


Kann gut sein, dass ich noch nicht genau verstehe was eine vollständige Dichte bedeutet. Ich weiss, dass die Dichtefunktion die Eigenschaft besitzt
fed-Code einblenden
Da bei meiner gemischten Verteilungsfuntkion 2/3 rauskommt, ist dies keine vollständige Dichte. Deshalb wollte ich wissen wie ich auf die vollständige kommen?



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PhysikRabe
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2051
Aus: Wien, Österreich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-07-17


Nochmal: Die angegebene Verteilungsfunktion ist unstetig, die dadurch beschriebene Zufallsvariable ist also gemischt. Eine Dichte kannst du nur für den stetigen Teil angeben, das hast du getan (es ist <math>f(x)=\frac{x}{3}</math> für <math>0<x<2</math>, und <math>f(x)=0</math> für <math>x\geq 2</math>). Bei <math>x=0</math> ist die Zufallsvariable diskret, du kannst also keine Dichte im strengen Sinne angeben. Daher gibt es auch keine "vollständige" Dichte.

Dass trotzdem alles in Ordnung ist, sieht man ganz leicht: Sei <math>X</math> die Zufallsvariable zur angegebenen Verteilungsfunktion. Dann ist offensichtlich <math>P(X=0)=\frac{1}{3}</math>, und <math>P(X=x)=0</math> für alle <math>x<0</math>. Also ist <math>P(X\in\mathds{R})=P(X=0)+P(X>0)=P(X=0)+\int\limits_{0}^2 \frac{x}{3} dx = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1</math>.

Grüße,
PhysikRabe


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caro155
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Mitteilungen: 15
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-17


Danke für deinen letzen Post, der hat mir einiges erklärt.

Jedoch ist mir dann ein anderes Beispiel nicht klar.
Folgende Verteilungsform :
fed-Code einblenden
Die nicht vollständige Dichte ist 2/3. In meinen Unterlagen wurde aber erwähnt dass die vollständige Dichte 4/3 im Bereich (0;3/4) ist. Jedoch leider nicht wie man auf diese dichte kommt.



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PhysikRabe
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Mitteilungen: 2051
Aus: Wien, Österreich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-07-17


2017-07-17 20:38 - caro155 in Beitrag No. 9 schreibt:
Folgende Verteilungsform :
fed-Code einblenden

Man überzeugt sich leicht davon, dass diese Verteilungsfunktion nur im Punkt <math>x=\frac{3}{2}</math> nicht stetig ist. Für <math>0\leq x < \frac{3}{4}</math> ist die Dichte <math>f(x)=\frac{2}{3}</math>; für <math>x<0</math> und <math>\frac{3}{4}\leq x < \frac{3}{2}</math> ist <math>f(x)=0</math>. In <math>x=\frac{3}{2}</math> ist die zugehörige Zufallsvariable diskret, analog zum vorigen Beispiel.

Du scheinst dir da etwas unsicher zu sein, also hier eine kurze Zusammenfassung: Sei <math>X</math> eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math>. Sei <math>F:\mathds{R}\to [0,1]</math> die Verteilungsfunktion von <math>X</math>, also <math>P(X\leq x)=F(x)</math>. <math>X</math> heißt diskret, wenn <math>F(x)=\sum\limits_{t\leq x} P(X=t)</math>. <math>X</math> heißt stetig, wenn es eine Funktion <math>f:\mathds{R}\to [0,\infty)</math> gibt, genannt Dichtefunktion, sodass <math>F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x} f(t) dt</math>. Ist F im Punkt <math>x\in\mathds{R}</math> stetig, so ist <math>f(x)=F'(x)</math> (nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung). Aus der Definition folgt insbesondere <math>P(X\in (a,b])=F(b)-F(a)</math>, und <math>P(X=x)=F(x)-F(x-)</math>, wobei <math>F(x-):=\lim\limits_{\epsilon\to 0+} F(x-\epsilon)</math> den rechtsseitigen Grenzwert bezeichnet. Daraus ist direkt zu erkennen, dass <math>F</math> genau dann stetig auf ganz <math>\mathds{R}</math> ist, wenn <math>P(X=x)=0</math> für alle <math>x\in\mathds{R}</math> gilt. Nur dann kann <math>X</math> absolut stetig sein. Falls dir das nicht klar sein sollte, wiederhole nochmal die Eigenschaften der Verteilungsfunktion.

Noch eine Bemerkung: Ich habe den Begriff "vollständige Dichte" noch nie gehört und auch Google findet dazu nichts. Es ist daher besser, sich diese Sprechweise abzugewöhnen. Sie macht auch gar keinen Sinn: Entweder es gibt eine Dichtefunktion (dann ist die Zufallsvariable stetig), oder eben nicht. In solchen Beispielen mit Zufallsvariablen, die teils stetig, teils diskret sind, kann man eben nur in einem bestimmten Bereich eine Dichte angeben - nämlich dort, wo die Zufallsvariable stetig ist.

Grüße,
PhysikRabe


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"Non est ad astra mollis e terris via" - Seneca
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caro155
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.07.2017
Mitteilungen: 15
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-17


Danke nochmals. So wie du es erklärst ist es sehr verständlich. Danke vielmals. Es war wirklich hilfreich auch die Zusammenfassung. Danke für die vielen Information.

lg.  



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AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2653
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2017-07-17


Huhu!

auch auf die Gefahr hin, es unnötig zu komplizieren:

Eine reelle Zufallsvariable <math>X</math> heisst stetig, wenn die zugehörige Verteilungsfunktion <math>F</math> mit <math>F(t)=\mathbb{P}(X \leq t)</math> stetig ist. Eine stetige Verteilung (bzw. Zufallsvariable) ist damit stets atomfrei, d.h. es gilt <math>\mathbb{P}_X(\{x\})=0</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math>.

Es besitzt aber nicht jede stetige Verteilung eine Dichtefunktion, d.i. eine reelle Funktion <math>f</math> mit <math>F(t)=\int_{-\infty}^t f(s)ds</math>. Solche Zufallsvariablen (bzw. deren Verteilungen) heissen absolutstetig. Für diese gilt charakteristisch <math>\mathbb{P}_X (A)=0 \leftrightarrow \lambda(A) = 0</math> für alle Borel-Mengen <math>A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})</math>.

Allerdings sind alle "handelsüblichen" stetigen Verteilungen auch absolutstetig und dies gilt auch für die Beispiele in diesem Thread.

lg, AK.



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