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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Eigenwerte » Jordansche Normalform
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Universität/Hochschule Jordansche Normalform
ellembi
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.11.2016
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-07-17


Hallo Zusammen, Ich bräuchte eure Hilfe bei dieser Aufgabe.
Ich wollte die Jordanische Matrix <math>J</math> und die die Matrix <math>Q</math> mit <math>J = Q^1 A Q</math> für diese Matrix <math>A = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\
-3 & -3 & 3 \\
-2 & -2 & 2 \\
\end{array}
\right) </math>
Diese Matrix hat nur 0 als Eigenwerte Ich habe die Eigenvektoren berechnet und habe zwei vektoren <math>v_1 = \left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0 \\
\end{array}
\right)</math> und <math>v_2 = \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{array}
\right)</math>
0 hat 2 als geom. Vielvachheit also <math>J</math> sieht so aus : <math> \left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right) </math>
Ich weiss aber nicht wie soll ich die <math>Q</math> berechnen . Es fehlt mir einen Vektor. Kann mir jemand bitte helfen. Danke im Voraus



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cybran01
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.07.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-07-17


Hallo erstmal wink Was du brauchst, ist eine Basis aus Hauptvektoren. Bis jetzt hast du aber nur EIGENvektoren bestimmt - das sind Hauptvekoren der ersten Stufe. Die reichen die meist nicht, Hauptvektoren aber immer. (Zumindest über <math>\mathbb{C}</math>)  razz
Ich verlink dir hier mal n pdf, da ist das wie ich finde das Verfahren ganz gut erklärt: www.speicherleck.de/iblech/stuff/tutor-la-ii-quast/jordan.pdf

Gehen wir das also mal Stück für Stück durch:
Deine Matrix ist nilpotent, d.h. <math>A^2=0</math>, das wird schonmal nützlich sein.
Bestimmen wir also <math>ker(A-0*I_3)=span<(1,0,1)^T,(-1,1,0)^T></math>.
Wir müssen jetzt einen Vektor in <math>ker((A-0*I_3)^2)</math> finden, der einen komplementären UVR zu <math>span<(1,0,1)^T,(-1,1,0)^T>=ker(A-0*I_3)</math> in <math>ker((A-0*I_3)^2)</math> aufspannt. Da deine Matrix nilpotent ist, ist <math>ker((A-0*I_3)^2)</math> der komplette Raum. Beispiel hierfür ist also z.B. <math>v=(0,0,1)^T</math>.


Jetzt rechnen wir <math>\{(A-0*I_3)^1*v,v\}=\{(-1,3,2)^T,(0,0,1)^T\}</math> aus.
Jetzt brauchen wir einen Vektor aus <math>ker(A-0*I_3)</math>, der nicht in <math>span<(-1,3,2)^T,(0,0,1)^T></math> und nicht <math>ker((A-0*I_3))^0=\{0\}</math> in  liegt, d.h. einen zu <math>\{0\}</math> komplementären UVR in <math>ker(A-0*I_3)</math>, also z.B. <math>v=(1,0,1)^T</math>. Den fügen wir zu zu unseren bereits bestimmen Vektoren hinzu und erhalten die Jordan Basis: <math>\{(-1,3,2)^T,(0,0,1)^T,(1,0,1)^T\}</math>. Das ist unsere Basiswechselmatrix, es gilt also <math>\begin{bmatrix}
-1&  0& 1\\
3&  0& 0\\
2&  1& 1
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1\\
-3&  -3& 3\\
-2&  -2& 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1&  0& 1\\
3&  0& 0\\
2&  1& 1
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0&  1& 0\\
0&  0& 0\\
0&  0& 0
\end{bmatrix}</math>
oder, wenn man einfach die Basisvektoren tauscht, so wie du es oben stehen hast:
<math>\begin{bmatrix}
1&  -1& 0\\
0&  3& 0\\
1&  2& 1
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1\\
-3&  -3& 3\\
-2&  -2& 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&  -1& 0\\
0&  3& 0\\
1&  2& 1
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0&  0& 0\\
0&  0& 1\\
0&  0& 0
\end{bmatrix}</math>



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ellembi
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.11.2016
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-18


Zuerst vielen Herzlichen Dank für die ausführliche Antwort.
Ich habe aber dazu noch frage. Die können auch blödsinnig sein. Ich bitte daher um Ihre Geduld.
Wieso haben Sie <math>ker(A-0*I_3)=span<(1,0,1)^T,(-1,0,1)^T></math> ich meine wieso habe ich zwei anderen Vektoren raus bekommen und macht das eine Unterschied am Ende?
Konnte ich ein <math>v=(1,0,0)^T</math> wählen Z.B? Ich meine wieso haben Sie v so gewählt.
Vielen Dank nochmal



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cybran01
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.07.2017
Mitteilungen: 11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-07-18


Hallo ellembi,

Die Antwort auf deine erste Frage ist recht einfach: Weil ich mich leider beim abtippen vertippt habe. razz  <math>ker(A-0*I_3)=span<(-1,1,0)^T,(1,0,1)^T></math> ist korrekt, danke für den Hinweis, der Rest sollte aber stimmen, auf dem Papier habe ich schließlich deine Version.
Um zu deiner zweiten Frage zu kommen: Nein, diese Vektoren sind NICHT eindeutig, einfachstes Gegenbeispiel: <math>ker(A-0*I_3)=span<(-2,2,0)^T,(5,0,5)^T></math> stimmt genauso.
Ebenso ist meine Wahl von <math>v=(0,0,1)^T</math> nicht eindeutig. Jeder Vektor, der die Anforderungen des Verfahrens erfüllt, ist eine Lösung.
Hätte ich mit <math>v=(1,0,0)^T</math> weitergerechnet, so wäre ich auf <math>\begin{bmatrix}
-1 &1  &1 \\
1 &-3  & 0\\
0& -2 & 0
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
1 & 1 &-1 \\
-3 & -3 &3 \\
-2 &-2  & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 &1  &1 \\
1 &-3  & 0\\
0& -2 & 0
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0 & 0 &0 \\
0& 0 &1 \\
0 &0  & 0
\end{bmatrix}</math>
gekommen.



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ellembi
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Vielen herzlichen Dank! :D :D



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ellembi hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
ellembi hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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