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Mathematik » Numerik & Optimierung » Zeta(-1+88i) mindestens 33 Nachkommastellen genau berechnen
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Universität/Hochschule Zeta(-1+88i) mindestens 33 Nachkommastellen genau berechnen
hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-08-10


Es gibt ja zig Algorithmen für Zeta(x). x =komplexe Zahl

functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta/02/

Nur bei Re(x)<1 und Im(x)>24

werden alle mir bekannten Algorithmen langsam und ungenau.

Zeta(-1+88i)=
26.92436563157381029444594331347511866... + 32.90091567397769396401754758062949463... i

Selbst mit der bekannten Umwandlung
Zeta(x)=Gamma(1-x)*2^x*Pi^(x-1)*sin(Pi*x/2)*Zeta(1-x)
werde ich bei interner Genauigkeit von 39 Stellen gerade mal 2 Nachkommastellen genau. Außerdem ist die Gammafunktion mit komplexen Zahlen auch langsam & kompliziert...

Vorschläge?
LINKs?



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-08-11


Hallo hyperG,
welche Algorithmen hast Du probiert? Ich würde nachsehen, welche Verfahren die quelloffenen Computeralgebra-Systeme (Maxima, Axiom, pari/gp, usw.) verwenden. Die Digital Library of Mathematical Functions [DLMF] schlägt vor, die Summenformel von Euler und MacLaurin zu verwenden.

[DLMF] NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/, Release 1.0.15 of 2017-06-01. F. W. J. Olver, A. B. Olde Daalhuis, D. W. Lozier, B. I. Schneider, R. F. Boisvert, C. W. Clark, B. R. Miller, and B. V. Saunders, eds.

Servus,
Roland



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-11


Danke Roland.

Du meintest den LINK
25.2.9 .

Binom(s+2k...) mit s als komplexe Zahl, läuft ja dann wieder auf die Gammafunktion hinaus.

Die Euler–Maclaurin Formel hat mir

hier
auch geholfen...

Mal sehen...



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
rlk
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-08-12


Hallo Gerd,
ih dachte, dass nicht nur die Formel 25.2.9 für die Zetafunktion von Interesse sein könnte. Zum Beispiel findest Du in 5.21 Methoden zur Berechnung der Gammafunktion. Die Binomialkoeffizienten kannst Du auch ohne Gammafunktion berechnen.

Nachtrag: auf der Seite Try It Online habe ich den gesuchten Funktionswert mit Pari/GP berechnet, Du kannst dort auch noch einige andere Programmiersprachen ausprobieren.
Pari/GP
print1(zeta(-1+88*I)) 
26.924365631573810294445943313475118649 + 32.900915673977693964017547580629494653*I

Servus,
Roland



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