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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Kritische Punkte von f
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Universität/Hochschule J Kritische Punkte von f
Planetmath
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-08-12


Hallo Matroids,

Ich hätte eine Frage zu folgender Aufgabe.

f : R2 →R,

fed-Code einblenden

Bestimme alle kritischen Punkte von f.

Muss ich bei dieser Funktion wie auch bei anderen Funktionen mehrer Variablen mit dem Gradienten arbeiten?.  confused





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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-08-12


Hallo,


Muss ich bei dieser Funktion wie auch bei anderen Funktionen mehrer Variablen mit dem Gradienten arbeiten?

Ja, das musst du tun.

Ist die Aufgabe so gestellt, wie du sie angegeben hast.
Die Notation:


<math>f(x)= (x_1)^2 + (2-(x_1))*3*(x_2)^2</math>

Ist vielleicht ein bisschen irreführend.
"Besser" ist vielleicht direkt:

<math>f(x_1,x_2)=(x_1)^2 + (2-(x_1))\cdot 3\cdot(x_2)^2</math>

zu schreiben, wobei <math>x=(x_1, x_2)</math>. Vielleicht kommt daher deine Verwirrung.



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Planetmath
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Dabei seit: 12.08.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-12


Hallo PrinzessinEinhorn,

ja die Aufgabe ist genauso gestellt.

Mit

<math>x=(x_1, x_2)</math>

macht es schon mehr Sinn, war mich sehr unsicher, da nur f(x) =..
gegeben war. Sobald ich Zeit habe würde ich noch die Berechnung posten.

Vielen Dank schonmal  smile .



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viertel
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Dabei seit: 04.03.2003
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Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-08-13


Hi Planetmath

Willkommen auf dem Planeten

Wo sind wohl die kritischen Punkte?

Achtung, das Bild ist für die ursprünglich falsch angegebene Funktion: <math>f(x_1,x_2)=x_1^2+(2-x_1) \cdot 3 \cdot x_2^2</math>



Gruß vom ¼


-----------------
Bild



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Planetmath
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Dabei seit: 12.08.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-13


Hallo ¼,

Vielen Dank für das Bild :-),

der Gradient von f ist

grad f = fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Man sieht direkt eine Lösung muss (0|0) sein. Für x_1 erhalte ich durch auflösen der x_2-Komponente des Gradienten (2-x_1)^3 = 0 -> x_1= 2.
Setze ich dieses Ergebnis in die x_1-Komponente ein erhalte ich 4 = 0.
Nun bin ich überfragt, wie ich das Ergebnis für x_2 handhaben soll.
Heißt das x_2 kann beliebig sein?. Wenn ich nach dem Bild gehe so wirkt es für mich, als ob ich noch einen Sattelpunkt bei (2|1) habe.



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Kampfpudel
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Dabei seit: 02.08.2013
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-08-13


Hey Planetmath,

das liegt wohl daran, dass du in deinem Ausgangsbeitrag wohl versehentlich eine falsche Funktion gepostet hast. Du meinst sicherlich
<math>f(x)=x_1^2 + (2-x_1)^3 \cdot x_2^2</math>,
also ein hoch 3 statt ein mal 3.

Was deine Lösung angeht:
In der Tat ist <math>(0,0)</math> offenbar eine Lösung.
Jetzt schau dir doch mal an, welche Bedingung(en) an einen Punkt <math>(x_1,x_2)</math> gegeben sein müssen, damit die zweite Komponente gleich <math>0</math> wird. Unter dieser/diesen Bedingung(en), wann ist dann auch die erste Komponente gleich 0?



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Planetmath
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 12.08.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-13


Hallo Kampfnudel,

vielen Dank, habe den Fehler direkt korrigiert.  smile

Wenn ich die zweite Komponente betrachte und bspw. sage <math>x_2 \neq 0</math> folgt
<math>x_1 = 2</math>. Wenn aber <math>x_1 = 2</math> ist, wird die erste Komponente niemals null.
Egal welchen Fall ich betrachte, der Gradient wird nur für den Punkt (0|0) null.
Es existiert also nur ein kritischer Punkt.
Stimmt das soweit?



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viertel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 25952
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-08-13


Ok, und hier das angepaßte Bild:




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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1040
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-08-14


Ja, das ist richtig. Die Bedingung für die zweite Komponente ist gerade <math>x_1=2</math> oder <math>x_2=0</math>. Wenn aber <math>x_1=2</math> gilt, so hast du richtig erkannt, dass die erste Komponente nicht gleich <math>0</math> (sondern immer gleich <math>4</math> ist, unabhängig davon was <math>x_2</math> ist) ist.
Somit muss also <math>x_2=0</math> gelten. Setzt man dies in die erste Komponente ein, sieht man direkt, dass auch <math>x_1=0</math> gelten muss.

So oder so ähnlich (also etwas mathematischer) würde ich es aufschreiben, damit es rigoros ist.



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Planetmath
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 12.08.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-14


Super,

vielen vielen Dank an alle, die geholfen haben  smile .



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