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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Singuläre Punkte abhängig vom Polynom?
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Universität/Hochschule Singuläre Punkte abhängig vom Polynom?
TommyAngelo
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 19.04.2012
Mitteilungen: 47
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-08-12


Hallo,

betrachten wir die <math>y</math>-Achse als algebraische Kurve, die durch das Polynom <math>f=x \in \mathbb R[x,y]</math> gegeben ist, so hat sie keinen singulären Punkt. Betrachten wir sie hingegen als Kurve, die durch <math>g=x^2 \in \mathbb R[x,y]</math> gegeben ist, so besteht sie laut der üblichen Definition (gleichzeitiges Verschwinden der partiellen Ableitungen von <math>g</math>) ausschließlich aus singulären Punkten, obwohl es sich um ein und dasselbe Objekt handelt.
Hängt damit die Eigenschaft eines Punktes, singulär zu sein, vom gegebenen Polynom ab? Ist es nicht sinnvoller, dies nur allein vom geometrischen Objekt an sich abhängig zu machen?
Ich habe nämlich auch schon eine Definition gesehen, die sich auf die Erzeuger des Ideals der Kurve bezieht. Somit müsste man hier, weil <math>(x)</math> und nicht <math>(x^2)</math> das Ideal der Kurve ist, das Polynom <math>x</math> betrachten, womit herauskommt, dass es keine singulären Punkte gibt, was auch damit übereinstimmt, dass die <math>y</math>-Achse nirgendwo singulär aussieht.
Andererseits lässt sich diese Gerade, sofern sie durch <math>g</math> gegeben ist, als zweifache Gerade auffassen. Jeder Punkt der Gerade hätte sie somit selbst als zweifache (und nicht als einfache) Tangente, was man wieder als eine Art Singularität interpretieren kann.
Jedoch will ich nicht wie ein Literaturkritiker interpretieren, sondern es geht mir um klare Definitionen. Ist der Begriff singulär hier also nicht klar definiert?



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lula
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 10605
Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-08-12


Hallo
 die Nullstellen Menge von  f=y-x ist eine Gerade (Winkelhalbierende), aber wieso soll f=x^2 eine Gerade sein?
bis dann lula



-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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TommyAngelo
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 19.04.2012
Mitteilungen: 47
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-12


Welche Punkte <math>(x,y) \in \mathbb R^2</math> erfüllen denn die Bedingung <math>f(x,y)=0</math> beziehungsweise <math>g(x,y)=0</math>? Nämlich alle Punkte mit <math>x^2=0 \Leftrightarrow x=0</math>, also genau diejenigen, die auf der <math>y</math>-Achse liegen. Daher stimmt die Nullstellenmenge von <math>f</math> mit derjenigen von <math>g</math> überein.



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BerndLiefert
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.10.2014
Mitteilungen: 261
Aus: Lehramtplanet
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-08-12


2017-08-12 20:26 - lula in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo
 die Nullstellen Menge von  f=y-x ist eine Gerade (Winkelhalbierende), aber wieso soll f=x^2 eine Gerade sein?
bis dann lula

Hallo lula,

weißt du was ein Polynom ist? Verstehst du die Aufgabenstellung?

Von f=y-x ist híer nirgends die Rede, sondern von f=x.



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ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 1751
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-08-12


Vor dem Editieren stand da m.E. y=x und y=x².


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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TommyAngelo
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 19.04.2012
Mitteilungen: 47
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-14


Niemand eine Antwort? Das hier ist doch das Mathematik-Forum schlechthin.



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BerndLiefert
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.10.2014
Mitteilungen: 261
Aus: Lehramtplanet
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-08-14


2017-08-12 20:06 - TommyAngelo im Themenstart schreibt:
obwohl es sich um ein und dasselbe Objekt handelt.
Sicher?

Was gehört denn alles zu einer Kurve? Nur die unterliegende Menge oder noch mehr?



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StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 2870
Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-08-14


hier wird ganz am Anfang vorausgesetzt, dass das Polynom keine mehrfachen Faktoren haben soll.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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TommyAngelo
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 19.04.2012
Mitteilungen: 47
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-14


Okay danke. Wahrscheinlich hängt der Begriff wirklich davon ab, wie man die Kurve auffasst, besser gesagt, wo man anfängt (mit dem geometrischen Objekt oder mit dem Polynom).



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kurtg
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 681
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-08-14


Hi,

die y-Achse ist nur der unterliegende topologische Raum. Regulär zu sein hängt aber auch noch vom Schema ab. V(x) ist isomorph zur affinen Gerade, also regulär, aber V(x²) ist nicht reduziert, also nicht regulär.



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TommyAngelo
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 19.04.2012
Mitteilungen: 47
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-14


Dann hängt der Begriff wirklich nicht nur allein von der Geometrie an sich ab, danke. Oder besser gesagt: Wenn er das tun soll, muss man die Erzeuger des Ideals betrachten. Hier habe ich noch etwas gefunden:
de.wikipedia.org/wiki/Zariski-Tangentialraum#Dimension_und_Singularit.C3.A4ten




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