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Zahlentheorie » Analytische Zahlentheorie » Ramanujansumme
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Universität/Hochschule Ramanujansumme
digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-08-12


Unter den Beispielen ganz unten:
de.wikipedia.org/wiki/Ramanujansumme
steht z.B.
<math>( n , q ) = \sum_{a=1}^{q}e\left({\frac {a}{q}}\cdot n\right)\cdot \sum _{d\mid q}{\frac {c_{d}(a)}{d}}}</math>
Ich wollte dann
<math>c_{d}(a)=\sum_{{t=1 \atop (t,d)=1}}^{d}e^{{2\pi i{\frac {t}{d}}a}}</math>
einsetzen und das zeigen.
Ich erhalte:
<math>(n,q)= \sum_{d \mid q} \frac{1}{d} \sum_{t=1 \atop (t,d)=1}^{d} \sum_{a=1}^{q} e^{2\pi i \left(\frac{n}{q} + \frac{t}{d}\right)a}</math>

Die Summe über a ist q, wenn <math>n + \frac{q}{d} t = lq</math> für eine ganze Zahl l, sonst Null. D.h. ich bekomm nur dann einen Beitrag, wenn
<math>t = (lq-n) \frac{d}{q}</math>. Diese gilt offenbar nur dann für ein l, wenn t dann eine natürliche Zahl ergibt und auch t ist teilerfremd zu d gilt.
Kann man irgendwie daraus ableiten, wieviele der <math>\varphi(d)</math> Terme über t überhaupt nur in Frage kommen?

Ich hätte dann
<math>(n,q)= \sum_{d \mid q} \frac{q}{d} \sum_{t=1 \atop{(t,d)=1 \atop t \in (\IZ q-n) \frac{d}{q}}}^{d} 1</math>



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