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Mathematik » Numerik & Optimierung » Konvergenzrate (Newton-Verfahren)
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Universität/Hochschule J Konvergenzrate (Newton-Verfahren)
Lisa92
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.03.2017
Mitteilungen: 16
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-08-20


Hallo liebe Mitglieder,

bevor ich meine Frage stelle, definiere ich einmal den Begriff "Q-Faktor":

<math>
Sei $\{x_k\}\subset\Rn$ eine Folge mit Grenzwert $x_\stern\in\Rn$ und sei \\$p\in[1,+\infty)$. Dann wird
\begin{align*}
\mathcal{Q}_p\{x_k\}:=\begin{cases}
\limsup\limits_{k\rightarrow\infty} \dfrac{\|x_{k+1}-x_\stern\|}{\|x_k-x_\stern\|^p} & \text{, falls }x_k\ne{x_\stern} \forall{k}\ge{k_0,}\\
0 & \text{, falls }x_k={x_\stern} \forall{k}\ge{k_0,}\\
+\infty & \text{, sonst,}
\end{cases}
\end{align*}
für ein $k_0\in\N$, der Quotienten-Faktor ($\mathcal{Q}$-Faktor) von $\{x_k\}$ genannt.</math>


Nun meine Frage: Warum gilt die folgende Aussage?

<math>
Es existiert immer ein Wert $p_0\in[1,+\infty)$, so dass
\begin{align*}
\mathcal{Q}_p\{x_k\}=\begin{cases}
0 & \text{, für }p\in[1,p_0)\\ +\infty & \text{, für }p\in(p_0,+\infty)
\end{cases}
\end{align*}
</math>

Ich stehe total auf dem Schlauch  confused



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5058
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-08-21


Hier fehlen wichtige Voraussetzungen, da diese Behauptung natürlich nicht für alle Folgen gilt.

Der Kern der Aussage ist, dass Qp{xk} und Qp'{xk} nicht gleichzeitig endliche positive Werte annehmen können, wenn <math>\displaystyle p<p'</math> gilt.
Dazu betrachtet man einfach eine Teilfolge, für die die Quotient mit Exponent p gegen Qp{xk} konvergiert und zeigt, dass für die selbe Teilfolge der Quotient mit Exponent p' divergiert, wobei ausgenutz wird, dass ||xk-x|| eine Nullfolge ist.



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Lisa92
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.03.2017
Mitteilungen: 16
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-21


Vielen Dank schon mal für die Antwort. Leider verstehe ich das nicht richtig. Was für Voraussetzungen fehlen denn?  confused
Nach dem Skript gilt die Aussage immer.



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5058
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-08-21


In der Überschrift steht z.B. etwas vom Newton-Verfahren, das taucht in der Frage gar nicht mehr auf.



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Lisa92
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.03.2017
Mitteilungen: 16
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-21


Achso. Das Skript handelt vom Newton-Verfahren, aber die Definition des Q-Faktors ist eher eine allgemeine Definition.



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
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Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-08-21


Grob gesagt besteht der Beweis aus zwei Teilen:
a) Die Folge hat eine Konvergenzordnung >1 -- das muss man daraus herleiten, dass es sich um ein Newtonverfahren handelt.
b) Die Konvergenzordnung ist eindeutig bestimmt, d.h. nur für (höchstens) ein p erhält einen endlichen, positiven Wert.

Welcher Teil interessiert Dich denn?

Wie gesagt, b) kann man sich eigentlich leicht selbst überlegen. Für a) braucht man Eigenschaften des Newtonverfahrens und der Beweis sollte eigentlich auch in der Vorlesung vorgeführt werden. Das ist ja eine wesentliche Eigenschaft des Newtonverfahrens.



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Lisa92
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.03.2017
Mitteilungen: 16
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-21


Mich interessiert eher der Beweis zu b). Ich sehe leider nicht, wie ich das zeigen kann.



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5058
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-08-22


Dann schau Dir nochmal Beitrag #1 an.

Warum gibt es eine solche Teilfolge?
Wie kann man den Term für p' so umschreiben, dass man den Unterschied zu dem Term für p gut sehen kann (in zwei Faktoren zerlegen)?
Welche Aussagen lassen sich über den zweiten Faktor treffen? Warum ist das so?
Was bedeutet das für das Gesamtergebnis?

Arbeite die Fragen ab und schreibe, wo Du nicht weiterkommst.



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Lisa92
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Dabei seit: 21.03.2017
Mitteilungen: 16
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-22


Vielen Dank!!! Ich könnte die letzten Fragen beantworten. Nur auf die Antwort der Frage, warum es eine solche Teilfolge gibt, bin ich nicht gekommen. Wäre sehr nett, wenn du mir da weiter helfen könntest.



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-08-23


Kennst Du die Definition und die grundlegenden Eigenschaften des oberen Limes (limes superior)?



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Lisa92
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.03.2017
Mitteilungen: 16
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-23


Ich weiß, dass man den Limes superior als Infimum des Supremums verstehen kann. Folgt es vielleicht daraus?



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
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Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-08-23


Ja, wobei man es viel leichter hat, wenn man diese bekannte Eigenschaft benutzt: "Der limes superior ist der größte Häufungspunkt einer Folge."

Uns reicht, dass es überhaupt ein Häufungspunkt ist, daraus folgt die Existenz einer Teilfolge, die gegen diesen Wert konvergiert.



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Lisa92
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Mitteilungen: 16
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-23


Ahhh verstehe. Danke für deine Geduld!



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