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Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » Fundamentalsystem der Differentialgleichung y'(t) = A * y(t) bestimmen
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Universität/Hochschule Fundamentalsystem der Differentialgleichung y'(t) = A * y(t) bestimmen
bran1
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2017
Mitteilungen: 15
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-08-21


Hallo,
ich muss ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung y'(t) = A· y(t) bestimmen, wobei <math>\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1\\ 0&0&0\end{pmatrix}</math>
mit dem Hinweis: Es gibt ein kleines n0∈ℕ, sodass für alle n ≥ n0 die Matrix An eine Nullmatrix ist.
Leider verstehe ich den Hinweis überhaupt nicht. Ich habe aber die Eigenwerte und die Eigenvektoren ausgerechnet.
Eigenwerte : λ1=λ2=λ3=0
Eigenvektor zum Eigenwert 0: (1, 0, 0).
Mit so einer Art von Aufgabe bin ich noch nicht konfrontiert worden. Normalerweise hatte ich immer 3 verschiedene reelle Eigenvektoren mit dem man dann das Fundamentalsystem bauen kann.
Leider habe ich hier überhaupt keine Idee. Den Hinweis verstehe ich leider auch nicht. Ich hoffe jemand kann mir mit Erklärung vorzeigen, wie eine solche Aufgabe zu lösen ist.
Danke vorab.



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dietmar0609
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.06.2007
Mitteilungen: 2529
Aus: Oldenburg , Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-08-21



Hallo Bran,

Es geht hier um eine nilpotent Matrix.

Schau mal hier rein:

Aufgabe 2.26 auf der Seite 2 und den Seiten 10/11


books.google.de/books?id=2gopCwAAQBAJ&pg=PA2&lpg=PA2&dq=Fundamentalsystem+einer+nilpotenten+matrix&source=bl&ots=O5w57CXHsx&sig=7MWtrLrKcVwd6VP1xYCqvWWVMxI&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwi2zLSgoOjVAhVOJVAKHUCWCf4Q6AEIWzAF#v=onepage&q=Fundamentalsystem%20einer%20nilpotenten%20matrix&f=false

Ich glaube, das könnte dir helfen.

Gruss Dietmar



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bran1
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2017
Mitteilungen: 15
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-21


Hallo dietmar0609,

danke für den Link und für deine Antwort. Jedoch ist es etwas zu kurz gefasst und ich verstehe die einzelnen Schritte nicht.
Anscheinend kann man bei solchen Fällen also wenn nur ein Eigenwert existiert, immer auf die Methode d. Matrixexponential zugreifen?

Und ich kenne diese Methode leider nicht und im Skript ist diese auch leider etwas zu kurz gefasst.
Ich habe diese Formel: <math>e^{A}=\sum_{n=0}^{\infty}{A^n/n!}</math>
Hier habe ich das erste Problem: Wie lange führe ich die Summe aus? Bis ich auf eine Nullmatrix stoße?

Mit dieser Methode habe ich nun die folgende Matrix berechnet:
<math>\begin{pmatrix}1&1&\frac{3}{2}\\0&1&1\\0&0&1\endpmatrix}</math>

Nur wie geht es jetzt weiter? Und wie bilde ich das Fundamentalsystem?

Danke.



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dietmar0609
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: Oldenburg , Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-08-21


Wenn du die Matrix aus der Aufgabestellung nimmst, bekomme ich bereits

A X A = A^2 = 0

d.h. für n=2

alle folgenden Potenzen sind natürlich auch null.

Wie kommst du auf die Matrix in Beitrag 2?

Gruss Dietmar



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
dietmar0609
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.06.2007
Mitteilungen: 2529
Aus: Oldenburg , Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-08-22


Auf dem Matheplaneten war fast alles schon mal da.

Der folgenden Link dürfte Deine Frage erschöpfend beantworten:

LinkFundamentalsystem bestimmen

Insbesondere Beitrag 9.

Gruss Dietmar



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