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Schulmathematik » Integralrechnung » Integral, Fläche unter einer Funktion f(x)
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Schule Integral, Fläche unter einer Funktion f(x)
Reinhardt
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-09


Beim bestimmten Integral einer Funktion f(x) ergibt die Lösung die Fläche unter der Funktion zwischen den Grenzen a und b.
Frage: Wo sind die beiden Teilfächen A und B b bei der Funktion f(x)=1/x^2 einzuzeichnen.




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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-09


Hallo,


Beim bestimmten Integral einer Funktion f(x) ergibt die Lösung die Fläche unter der Funktion zwischen den Grenzen a und b.

Das stimmt so nicht.
Das Integral über ein bestimmtes Intervall ergibt nicht immer eine Fläche.
Ein Integral kann auch negativ sein, während eine negative Fläche keinen Sinn macht.
In deinem Foto ist dies auch nicht so formuliert.

Auch heißt die Funktion f. f(x) ist der Funktionswert von f an der Stelle x.

Ich verstehe die Aufgabe nicht wirklich.

Was soll zum Beispiel diese Notation bedeuten?
Etwa <math>-1/2|^2=-0.5</math>



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-09-09


Hi Reinhardt

Willkommen auf dem Planeten

Die Definition, auf die sich der Textanfang „Laut Definition entspricht …“ bezieht, würde ich gerne mal sehen.

In deinem anderen Thread Integral von e^-x von 0 bis unendlich (warum reagierst du da nicht?) hast du anscheinend den gleichen Gedankenfehler.

Gruß vom ¼


-----------------
Bild



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Reinhardt
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-09



2017-09-09 16:58 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,
Vielen Dank für Deine schnelle Anwort.
Ist mir schon klar das die Rechnung für die untere Grenze a und obere Grenze b unterschiedliche Vorzeichen ergeben kann. Die Summe kann dann auch 0 sein wie beim Sinus zwischen -pi und +pi. Aber die Teileflächen kann man trotzdem einzeichnen. Wie ist das bei meiner Beispielfunktion 1/(x^2). Gibts da gar keine Teilflächen A und B?
PS: Mit -1/2|^2=-0.5 wollte ich die eingesetzte Grenze 2 in -1/x zeigen.
    Bin halt noch ziemlich ein Anfänger. Sorry


Beim bestimmten Integral einer Funktion f(x) ergibt die Lösung die Fläche unter der Funktion zwischen den Grenzen a und b.

Das stimmt so nicht.
Das Integral über ein bestimmtes Intervall ergibt nicht immer eine Fläche.
Ein Integral kann auch negativ sein, während eine negative Fläche keinen Sinn macht.
In deinem Foto ist dies auch nicht so formuliert.

Auch heißt die Funktion f. f(x) ist der Funktionswert von f an der Stelle x.

Ich verstehe die Aufgabe nicht wirklich.

Was soll zum Beispiel diese Notation bedeuten?
Etwa <math>-1/2|^2=-0.5</math>



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-09-09


Meinst du dann sowas:

<math>\int_1^2 \frac{1}{x^2}\, dx= [-\frac1x]^2_1=-\frac{1}{2}-\left(-\frac11\right)=-\frac12+1=\frac12</math>

Ah, ok. Jetzt verstehe ich was du meinst.
Woher stammt diese Aufgabe?

Im ersten Bild müsstest du dann alles unterhalb der Funktion färben, bis zu der Grenze 2.
Im zweiten Bild nur bis zur Grenze 1.
Subtrahiert man die gefärbten Flächen, erhält man das Bild 3.




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DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-09-10


2017-09-09 18:34 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 4 schreibt:

Im ersten Bild müsstest du dann alles unterhalb der Funktion färben, bis zu der Grenze 2.
Im zweiten Bild nur bis zur Grenze 1.
Subtrahiert man die gefärbten Flächen, erhält man das Bild 3.


Was hier natürlich so eine Sache ist, da beide Flächen unendlich sind und <math>\infty + c - \infty = c</math> im Allgemeinen nicht gilt.


Daher eine Alternativlösung:
Integrale sollten unter Translation sicherlich gleich bleiben.
Also verschieben wir die Kurve einfach um eine Einheit nach links.
Das Problem bleibt dabei gleich, allerdings fallen die unendlichen Flächen und alle damit verbundenen Verwirrungen ersatzlos weg.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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Reinhardt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-10


Hallo Prinzessin

erstmal vielen Dank für Deine Erklärung.
Das mit den beiden Differenzflächen funktioniert.
Es bleibt aber noch ein Problem.
In meinem Beispiel 1 oder mit den Funktionen
f(x)=c*x und auch mit f(x)=sin(x) ergibt die Berechnung
des Integrals mit den Grenzen a und b dieselbe Zahl wie wenn ich die
Teilflächen A und B konventionell berechne bzw. die Kästchen unter
den Teilflächen grob auszähle.
Teilfläche A im Beispiel 2  beträgt nach Rechnung -1 und B gleich -0,5.
Bei Deinem Vorschlag sind die Flächen A und B wesentlich größer bzw. unendlich.
Viele Grüße

Reinhardt

PS: Ich habe mal in der Schule Infinitesimal-Rechnung gelernt aber seit
    dieser Zeit beruflich nie wieder gebraucht. Jetzt bin ich in Rente
und es macht mir viel Spass das alte Wissen aufzufrischen bzw. zu erweitern (Beweisführung, Herleitungen etc.)
Bei der Beschäftigung mit der Laplace-Transformation kommt die Funktion
1/e^s  vor und hier stieß ich auf das Problem des Zeichnens der Teilflächen A und B welche mit der Rechnung übereinstimmen.



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Reinhardt
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-10


Hallo 1/4
zu Deiner Antwort:

"Die Definition, auf die sich der Textanfang „Laut Definition entspricht …“ bezieht,
würde ich gerne mal sehen".
-> Unser ehemaliger Mathelehrer hat uns das Integral immer als Fläche unter der Funktion
zwischen den Grenzen a und b verdeutlicht bzw. als Differenz der Flächen B-A.
Wusste nicht dass dies keine allgemeingültige Defininition ist.


"In deinem anderen Thread Integral von e^-x von 0 bis unendlich (warum reagierst du da nicht?) hast du anscheinend den gleichen Gedankenfehler".
-> Bin zu ersten mal in einem Forum. Wusste nicht das QUOTE antworten bedeutet. Sorry !
   Aber wo liegt denn mein Gedankenfehler ?

Gruß Reinhardt



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Reinhardt
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 07.09.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-10


Hallo Einfältiger

Zu Deiner Erkärung:
"Was hier natürlich so eine Sache ist, da beide Flächen unendlich sind und <math>\infty + c - \infty = c</math> im Allgemeinen nicht gilt".

Dies scheint mir die logischte und beste Erklärung zu sein.

Bei Deinem Alternativvorschlag (verschieben) ergibt sich für mich das Problem dass die Rechnung mit den Grenzen a und b
nicht die selben "Teilflächenzahlen" A und B ergeben wie wenn ich die Teilfächen mit kleinen Kästchen grob auszähle.

Vielen Dank und viele Grüße
Reinhardt



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-09-11


Wenn du verschiebst, mußt du alles, also auch die Grenzen, verschieben:





Wie lautet die Funktionsgleichung der roten Kurve?



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Reinhardt
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-11


Hallol Prinzessin
Irgendwie wir meine Frage falsch bestanden. Ich beziehe mich nochmal auf die Erklärung unseres ehemaligen Mathe-Lehrers:
"Das Integral von f(x) in den Grenzen a und b ist die Fläche zwischen der Funktion und der X-Achse begrenzt durch a und b. Diese ergibt sich aus der Differenz der Teilflächen 0->b (B) und 0->a (A)."

1. Anscheinend trifft diese Erklärung nicht für alle Funktionen zu. Was sind dann aber die Voraussetzungen für dieses Statement?

2. Die Begründung beim Integral 1(x^2) kann eine Teilflächen nicht berechnet werden weil x=0 nicht im Definintionsbereich der Funktion liegt leuchtet mir zwar ein. Aber beim Integral 1/(e^x) liegt die Null im Definitionsbereich. Beim Einsetzen eines Grenzwertes z.B. a oder b=0 ergibt sich 1 ! Die Fläche 0 bis 0 müsste aber auch 0 sein.

Ich hoffen nicht all zu sehr zu nerven mit meiner Frage.
Gruß Reinhardt



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-09-11


2017-09-11 12:35 - Reinhardt in Beitrag No. 10 schreibt:
Hallol Prinzessin
Irgendwie wir meine Frage falsch bestanden. Ich beziehe mich nochmal auf die Erklärung unseres ehemaligen Mathe-Lehrers:
"Das Integral von f(x) in den Grenzen a und b ist die Fläche zwischen der Funktion und der X-Achse begrenzt durch a und b. Diese ergibt sich aus der Differenz der Teilflächen 0->b (B) und 0->a (A)."

1. Anscheinend trifft diese Erklärung nicht für alle Funktionen zu. Was sind dann aber die Voraussetzungen für dieses Statement?

2. Die Begründung beim Integral 1(x^2) kann eine Teilflächen nicht berechnet werden weil x=0 nicht im Definintionsbereich der Funktion liegt leuchtet mir zwar ein. Aber beim Integral 1/(e^x) liegt die Null im Definitionsbereich. Beim Einsetzen eines Grenzwertes z.B. a oder b=0 ergibt sich 1 ! Die Fläche 0 bis 0 müsste aber auch 0 sein.

Ich hoffen nicht all zu sehr zu nerven mit meiner Frage.
Gruß Reinhardt

Zu 1.) Der Satz gilt so nur für Funktionen, die durchweg oberhalb der x-Achse liegen und zum anderen natürlich überhaupt eine Fläche begrenzen, also bspw. zumindest abschnittsweise stetig sind.  

Zu 2.) Das Integral von 0 bis 0 ergibt F(0) - F(0) = 0.


Zum zweiten Teil der 1. Frage:
Der Denkfehler rührt eventuell daher, dass in der Schule das Integral
(zu Beginn) meist als Flächeninhaltsfunktion mit Bezug zur y-Achse eingeführt wird. Das passt natürlich nur dann, wenn man überhaupt sinnvoll von Flächen sprechen kann und zudem die y-Achse eine praktikable Untergrenze ist.
Letzteres ist allerdings eine willkürliche Festlegung, die potentiell unsinnig ist, falls die Funktion dort überhaupt nicht definiert ist.

Sind die trivialen Voraussetzungen erfüllt spricht man also besser von der "Differenz der Teilflächen <math>x_0\rightarrow b</math> und <math>x_0\rightarrow a</math>", wobei <math>x_0</math> die Untergrenze darstellt. Diese kann mehr oder weniger beliebig gewählt werden und muss keineswegs bei 0 liegen. Für pädagogisch wertvolle Skizzen sollte allerdings <math>x_0 < a < b</math> gelten.


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Reinhardt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-11


Irgendwie wird meine Frage falsch bestanden. Ich beziehe mich nochmal auf die Erklärung unseres ehemaligen Mathe-Lehrers:
"Das Integral von f(x) in den Grenzen a und b ist die Fläche zwischen der Funktion und der X-Achse begrenzt durch a und b. Diese ergibt sich aus der Differenz der Teilflächen 0->b (B) und 0->a (A)."

1. Anscheinend trifft diese Erklärung nicht für alle Funktionen zu. Was sind dann aber die Voraussetzungen für dieses Statement?

2. Die Begründung beim Integral 1(x^2) kann eine Teilflächen nicht berechnet werden weil x=0 nicht im Definintionsbereich der Funktion liegt leuchtet mir zwar ein. Aber beim Integral 1/(e^x) liegt die Null im Definitionsbereich. Beim Einsetzen eines Grenzwertes z.B. a oder b=0 ergibt sich 1 ! Die Fläche 0 bis 0 müsste aber auch 0 sein. Was bedeutet aber die Zahl welche ich beim Einsetzen eines Grenzwerts erhalte. Gibt es hier keine grafische Darstellung oder Erklärung ?

Ich hoffen nicht all zu sehr zu nerven mit meiner Frage.
Gruß Reinhardt

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Reinhardt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-11


Irgendwie wird meine Frage falsch bestanden. Ich beziehe mich nochmal auf die Erklärung unseres ehemaligen Mathe-

Lehrers:
"Das Integral von f(x) in den Grenzen a und b ist die Fläche zwischen der Funktion und der X-Achse begrenzt durch a und

b. Diese ergibt sich aus der Differenz der Teilflächen 0->b (B) und 0->a (A)."

1. Anscheinend trifft diese Erklärung nicht für alle Funktionen zu. Was sind dann aber die Voraussetzungen für dieses

Statement?

2. Die Begründung beim Integral 1(x^2) kann eine Teilflächen nicht berechnet werden weil x=0 nicht im

Definintionsbereich der Funktion liegt leuchtet mir zwar ein. Aber beim Integral 1/(e^x) liegt die Null im

Definitionsbereich. Beim Einsetzen eines Grenzwertes z.B. a oder b=0 ergibt sich 1 ! Die Fläche 0 bis 0 müsste aber

auch 0 sein. Was bedeutet aber die Zahl welche ich beim Einsetzen eines Grenzwerts erhalte. Gibt es hier keine

grafische Darstellung oder Erklärung ?

Ich hoffen nicht all zu sehr zu nerven mit meiner Frage.
Gruß Reinhardt

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Reinhardt
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-11


Irgendwie wird meine Frage falsch verstanden. Ich beziehe mich nochmal auf die Erklärung unseres ehemaligen Mathe-

Lehrers:
"Das Integral von f(x) in den Grenzen a und b ist die Fläche zwischen der Funktion und der X-Achse begrenzt durch a und

b. Diese ergibt sich aus der Differenz der Teilflächen 0->b (B) und 0->a (A)."

1. Anscheinend trifft diese Erklärung nicht für alle Funktionen zu. Was sind dann aber die Voraussetzungen für dieses Statement?

2. Die Begründung beim Integral 1(x^2) kann eine Teilflächen nicht berechnet werden weil x=0 nicht im Definintionsbereich der Funktion liegt leuchtet mir zwar ein. Aber beim Integral 1/(e^x) liegt die Null im

Definitionsbereich. Beim Einsetzen eines Grenzwertes z.B. a oder b=0 ergibt sich 1 ! Die Fläche 0 bis 0 müsste aber auch 0 sein. Was bedeutet aber die Zahl welche ich beim Einsetzen eines Grenzwerts erhalte. Gibt es hier keine grafische Darstellung oder Erklärung ?

Ich hoffen nicht all zu sehr zu nerven mit meinem Problem.
Gruß Reinhardt

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Reinhardt
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-11



Wie lautet die Funktionsgleichung der roten Kurve?

Die Funktionsgleichung lautet: f(x) = 1/(x+0,5)^2
Bringt mich aber auch nicht viel weiter. Wo ist denn dann das Ergebnis durch Einsetzen von b=2 (=0,16) grafisch darstellbar?



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Reinhardt
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-11


... Anmerkung zu Deiner Antwort


Zu 1.) Der Satz gilt so nur für Funktionen, die durchweg oberhalb der x-Achse liegen und zum anderen natürlich überhaupt eine Fläche begrenzen, also bspw. zumindest abschnittsweise stetig sind.  

-> sowohl beim der Funktion 1/x^2 als auch bei 1/e^x liegen alle Werte oberhalb der X-Achse.
   

Zu 2.) Das Integral von 0 bis 0 ergibt F(0) - F(0) = 0.

-> Hatte nicht gemeint Intergral mit den Grenzen a=0 und b=0 sondern die einzelnen Ergebnisse beim Einsetzen nur einer Grenze, z.B. a=0 betrachtet. Integral[e^(-x)] = -e^(-x) und mit a=0 erhält man -1. Beim Subrahieren der Ergebnisses beim Einsetzen von Grenze a und b in die Lösung des Integrals erhält man doch die Fläche unter der Kurve und der X-Achse zwischen den Grenzen a und b. Wenn das Ergebnis der Differenzbildung eine Fläche darstellt müssten doch auch die einzelnen Summanten eine Fläche darstellen, rein physikalisch betrachtet (es können nur gleiche Einheiten addiert bzw. subtrahiert werden).
Bei der Funktion e^(-s*t)spricht man ja auch bei der Konstanten s von Frequenz wenn t die Zeit darstellt da der Exponent die Einheit 1 haben muss.

Viele Grüße
Reinhardt



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2017-09-11


2017-09-11 15:23 - Reinhardt in Beitrag No. 16 schreibt:
... Anmerkung zu Deiner Antwort


Zu 1.) Der Satz gilt so nur für Funktionen, die durchweg oberhalb der x-Achse liegen und zum anderen natürlich überhaupt eine Fläche begrenzen, also bspw. zumindest abschnittsweise stetig sind.  

-> sowohl beim der Funktion 1/x^2 als auch bei 1/e^x liegen alle Werte oberhalb der X-Achse.


Die lassen sich über den meisten Intervallen auch problemlos integrieren.

2017-09-11 15:23 - Reinhardt in Beitrag No. 16 schreibt:

Zu 2.) Das Integral von 0 bis 0 ergibt F(0) - F(0) = 0.

-> Hatte nicht gemeint Intergral mit den Grenzen a=0 und b=0 sondern die einzelnen Ergebnisse beim Einsetzen nur einer Grenze, z.B. a=0 betrachtet. Integral[e^(-x)] = -e^(-x) und mit a=0 erhält man -1. Beim Subrahieren der Ergebnisses beim Einsetzen von Grenze a und b in die Lösung des Integrals erhält man doch die Fläche unter der Kurve und der X-Achse zwischen den Grenzen a und b. Wenn das Ergebnis der Differenzbildung eine Fläche darstellt müssten doch auch die einzelnen Summanten eine Fläche darstellen, rein physikalisch betrachtet (es können nur gleiche Einheiten addiert bzw. subtrahiert werden).


Ein bestimmtes Integral hat immer zwei Grenzen.

Noch einmal zwei Lösungswege:
Entweder wir bilden die Differenz der Flächen zwischen <math>x_0</math> und <math>a</math> bzw. <math>b</math> mit der willkürlich gewählten unteren Grenze <math>x_0</math> oder eben etwas abstrakter die Differenz <math>F(b) + C - (F(a) + C)</math> mit der Integrationskonstante <math>C</math>. Die Integrationskonstante beim unbestimmten Integral entspricht genau der willkürlich festgelegten unteren Grenze.


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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2017-09-11


Hallo
F(0) ist nicht die Fläche bei 0
im Falle von e^(-x) ist es z.B. die Fläche von - unendlich bis 0, also schon eine Fläche, wie du mit deinen Dimensionsüberlegungen meinst, aber keine, die eine 0 Fläche ergibt.
wenn du dich erinnerst wird das Integral auf der Schule ja als Grenzwert einer Summe  über kleine Rechtecke hergeleitet auf der einen Seite, auf der anderen Seite, dann gezeigt, dass es die Umkehrung der Differentiation ist. Das hast du für F(0) benutzt, und dann ist das eben nicht die Fläche von 0 bis 0.
Gruß lula


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Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2017-09-12


Reinhardt, vielleicht solltest du dich einfach von der Veranschaulichung durch diese Flächendifferenzen verabschieden. Du hast ja selbst gemerkt, daß das nicht immer hinhaut.

Noch krasser sichtbar wird diese Fehldeutung bei dieser Fläche: was soll da die Fläche von 0 bis a=1.5 bzw. b=2.5 sein?



Die Fläche der Funktion <math>f</math> in den Grenzen <math>a</math> bis <math>b</math> (mit den oben bereits genannten Voraussetzungen) ist die Differenz der Stammfunktion <math>F</math> an den Stellen <math>a</math> und <math>b</math>:
<math>\displaystyle \int_a^b f(x) \d\!x=F(b)-F(a)</math>



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Reinhardt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-13


Anmerkung zu der Antwort von der "DerEinfaeltige"

"Ein bestimmtes Integral hat immer zwei Grenzen.
Noch einmal zwei Lösungswege:
Entweder wir bilden die Differenz der Flächen zwischen <math>x_0</math> und <math>a</math> bzw. <math>b</math> mit der willkürlich gewählten unteren Grenze <math>x_0</math> oder eben etwas abstrakter die Differenz <math>F(b) + C - (F(a) + C)</math> mit der Integrationskonstante <math>C</math>. Die Integrationskonstante beim unbestimmten Integral entspricht genau der willkürlich festgelegten unteren Grenze".

-> Das mit der Existenz einer "unsichtbaren" Untergrenze x0 (= <math>x_0</math>) leuchtet ein. Trotzdem stellt sich mir dann eine weitere Frage.

Beispiel 1:
f(x)=konstant -> F(x)=x und mit Grenzwert a=3 ergibt sich die "Fläche" A=3. Diese stimmt überein mit der Fläche unter
f(x) und der X-Achse wenn x0=0 ist.

Beispiel 2:
f(x)=x -> F(x)= x^2/2 und mit Grenzwert a=3 ergibt sich die "Fläche" A=4,5. Dies stimmt überein mit der Fläche unter
f(x) und der X-Achse wenn x0=0 ist.

Beispiel 3:
f(x)= e^x -> F(x)= e^x und mit Grenzwert a=0 ergibt sich die "Fläche A=1. Dies stimmt überein mit der Fläche unter
f(x) und der X-Achse wenn x0= -unendlich ist.

Beispiel 4:
f(x)= e^(-x) -> F(x)=-e^(-x) und mit Grenzwert a=0 ergibt sich die "Fläche A=|-1|. Dies stimmt überein mit der Fläche unter f(x) und der X-Achse wenn x0= +unendlich ist.

Es gibt also bei allen 4 Beispielen eine anschauliche "Teilfläche A" wobei die vorausgesetzte implizite Grenze x0  nicht immer gleich ist. Willkürlich kann man demnach x0 aber nicht festlegen. Es muss doch einen Grund haben wie diese Grenze x0 definiert ist bzw. wodurch sich diese ergibt?



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2017-09-13


Das mit der verschieblichen Grenze <math>x_0</math> ist doch eigentlich nur eine Katze, die sich selbst in den Schwanz beißt.

Um die Fläche von <math>a</math> bis <math>b</math> zu berechnen werden die Teilflächen <math>x_0</math> bis <math>a</math> und <math>x_0</math> bis <math>b</math> berechnet und dann die Differenz gebildet.
Und wie bitteschön wird die Fläche von <math>x_0</math> bis <math>a</math> berechnet, wenn <math>x_0 \ne 0</math>? Wir stehen wieder vor dem gleichen Problem.



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