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Mechanik » Theoretische Mechanik » Wirkungsintegral
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Universität/Hochschule Wirkungsintegral
digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-10 03:11


Unter
de.wikipedia.org/wiki/Hamilton-Jacobi-Formalismus
wird im Abschnitt "Hamilton-Jacobi-Formalismus für nicht explizit zeitabhängige Hamilton-Funktion"
ganz unten gesagt, dass die Wirkung
<math>W=\int_{t_1}^{t_2} 2T \, \rm{d}t</math>
ist. Wieso ist 2T=L=T-V???



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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-12 13:21


Hallo,

vorneweg: Wiki ist für die Art von Physik eher suboptimal, lies das besser in einem guten Lehrbuch nach.
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Gruß
Juergen



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-12 21:50




"Diese Art von Physik" ?
Was meinst du damit konkret? Was fällt denn alles unter "diese"?



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Euler2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-09-12 22:29


Hallo Diggerdigga,

Ich kenne eigentlich nur, dass die Hamilton Funktion der Gesamtenergie entspricht, wenn die Zwangsbedingungen skleronom sind und das Potential nicht geschwindigkeitsabhängig ist. Dies deckt sich immerhin mit folgenden Link

solid13.tphys.physik.uni-tuebingen.de/muether/physik3/m22.pdf von (2.15) bis (2.16).

Die Zeitunabhängigkeit der Lagrange Funktion impliziert nur die Erhaltung der Hamilton Funktion



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-13 17:46


Hey nochmal,
Danke erstmal für eure Antworten.
Warum ist das überhaupt möglich die transformierte Hamiltonfunktion immer konstant=0 zu wählen?
Wenn im zeitunabhängigen Fall H eine konstante der Bewegung ist, kann sich diese Konstante dann mittels einer kanonischen Transformation zu einer beliebigen anderen Konstanten ändern?



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Euler2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-09-13 19:31


Hallo Digerdiga,

Ob dies möglich ist, lässt sich auf die Existenz einer Lösung der Hamilton-Jacobi-PDGL zurückführen.  Man sucht ja nur eine Substitution, sodass H'=0 und die kanoonsichen Gleichungen erhält.

BSP:
f(x,y) = x^2+y^2         mit 0<x<1 und 0<y<1. Lass x=sin(X) festlegen uund y=cos(Y). Dann ist. f'(X,Y)=f(x(X,Y),y(X,Y))= 1. Deine Transformierte Funktion ist 1:). Dies passiert bei H'(Q,P,t) auch und man versuch H'=0 zu finden.

Natürlich ändert sich der Funktionswert im Zeitunabhängigen fall auch. H'(Q,P,t) != H(q,p,t). Die Transformation steckt in den Koordinaten.

Les am besten den Nolting Band 2. Den finde ich sehr empfehlendswert.



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-13 21:27


Hey Danke für das Beispiel.
Meinst du y= cos( X) ? Dann geht aber ein Freiheitsgrad verloren.
Den Nolting hab ich gelesen aber die Frage warum das immer möglich ist beantwortet der auch nicht.
Oder heißt das es muss gar keine Lösung der entsprechenden HJ-PDG geben?



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Euler2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-09-13 22:02


Hallo digerdigga,

Ja mit der Ergänzug zu meinen Beispiel hast du recht. Zwar verliert man ein Freiheitsgrad aber die Idee ist identisch.
Ein besseres Beispiel wäre folgendes

<math> H(p,q)= \frac{p^2}{2m} + 1/2 m \omega^2 q^2 </math>, also der Harmonische Oszilator in einer Dimension. Die Transformierende sei <math>\phi=\frac{m}{2} \omega q^2 \cdot cot(Q)</math>.
Es folgt <math>H'(Q,P)=\omega P. </math> INsbesondere ist P nach den kanonischen Gleichung dann konstant und somit auch H'.

Damit die Transformation auf Null glückt, brauchen wir eine Lösung der Hamilton-Jacobi-PDGL. Ob es eine Lösung gibt oder keine gibt, ist sehr schwer im Allgemeinen zu beantworten. Ich meine die Navier-Stokes-Gleichungen gibt es ja auch, und man konnte noch nicht zeigen, dass diese eine Lösung besitzt.

Insbesondere heißt das aber auch nur, dass für diese Transformierende keine Lösung vorhanden ist. Dies impliziert ja noch nicht, dass es gar keine kanonische Transformation gibt, so dass H'=0.

Für solche Fragen bin ich dann aber auch überfordert und man sollte wohl eher einen mathematischen Physiker fragen.



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-14 14:19


Hey nochmal,
Da du ja schon auf den Nolting verwiesen hattest:
Warum ist in Abschnitt 3.3 (Hamiltonsche charakteristische Funktion) Direkt zu Beginn E nicht von q abhängig.
Es heißt "E ist natürlich über W von Alpha abhängig"



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Euler2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-09-16 11:35


Hallo digerdigga,

Da ich leider kaum Bücher selber habe, sondern diese immer in der Uni-Biblothek lese, kann ich deine Frage im Moment nicht nachvollziehen.

Es wäre schöner, wenn du die Aufgabenstellung und Frage nochmal ausformulierst, so dass dir auch andere Personen leichter helfen können.



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-18 00:31


Vielleicht stell ich die Frage erstmal anders herum.
dH/dt = 0 impliziert H=E=const. hängt also nicht von q und p ab, oder?
Wenn ich nun mittels F2(q,P,t) eine beliebige kanonische Trafo einführe, ist dann H(q,dF2/dq) = E von P abhängig?



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Euler2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-09-18 20:41


Hallo digerdigga,

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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-19 01:14


Hey, meinst du mit "erstmal" ganz oben, solange die H-BWGL nicht gelten?
Weil sonst ist doch die partielle immer gleich der totalen Ableitung?

Und weiter unten spielst du auf nicht skleronome Zwangsbedingungen an, oder?

Ansonsten fahr ich mal weiter fort: (d/dx soll partiell sein)
Sei H(q,p)=E. Nun möchte ich die H-Funktion transformieren. Dazu führe ich S=F2(q,P,t) ein, so dass H(q,dS/dq) + dS/dt = 0.
Da H nicht explizit von der Zeit abhängt, bietet es sich an die Zeitabhängigkeit additiv zu separieren:
S=W(q,P) - E*t
Dadurch ist H auch nach der Trafo zeitunabhängig und auch nachher immer noch die Konstante E, d.h.
H(q,dW/dq) = E.
Kann man nun sagen die Konstante E hängt von q und P ab, weil eigentlich ist E doch einfach nur eine Konstante?
Wenn ich nun eine Lösung W gefunden habe, dann tauchen in dieser ja der Anzahl der Koordinaten q entsprechend viele Integrationskonstanten auf.
Nolting identifiziert diese nun mit den neuen Impulsen, so dass E(P) und nicht von q abhängt (was wir ja auch beim nach q ableiten benutzt haben), aber auch nicht von Q!
Folgt das indem man einfach die Integrationskonstanten zählt und nur soviele Koordinaten auftauchen können?

Dieser Ansatz hat eine andere Motivation als wenn ich von der Gleichung H(q,p)=E mit der Trafo W(q,P) fordere, dass die transformierte Gleichung nicht mehr von den neuen Q abhängen Soll!



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Euler2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2017-09-19 18:35


Hallo digerdiga,

2017-09-19 01:14 - digerdiga in Beitrag No. 12 schreibt:
Hey, meinst du mit "erstmal" ganz oben, solange die H-BWGL nicht gelten?
Weil sonst ist doch die partielle immer gleich der totalen Ableitung?

Ich wollte nur nochmal explizit klarmachen, dass im allgemeinen für eine Größe nicht gilt fed-Code einblenden
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Es schien ein bischen so als, ob du es nicht differenzierst.
Natürlich gilt dies jedoch für die Hamilton-Funktion.


2017-09-19 01:14 - digerdiga in Beitrag No. 12 schreibt: Ansonsten fahr ich mal weiter fort: (d/dx soll partiell sein)
Sei H(q,p)=E. Nun möchte ich die H-Funktion transformieren. Dazu führe ich S=F2(q,P,t) ein, so dass H(q,dS/dq) + dS/dt = 0.
Da H nicht explizit von der Zeit abhängt, bietet es sich an die Zeitabhängigkeit additiv zu separieren:
S=W(q,P) - E*t
Dadurch ist H auch nach der Trafo zeitunabhängig und auch nachher immer noch die Konstante E, d.h.
H(q,dW/dq) = E.

Kann man nun sagen die Konstante E hängt von q und P ab, weil eigentlich ist E doch einfach nur eine Konstante?

Die Frage ist eher komisch.
<math> E=H(p,q)= \frac{p^2}{2m} + 1/2 m \omega^2 q^2 </math>, also der Harmonische Oszilator in einer Dimension. Natürlich kannst jetzt sagen, dass E von (q,p) abhängig ist. Die Energie des Systems, ist ja abhängig von der Auslenkung der Feder und Geschwindigkeit der Feder.

Jedoch wird E von den Anfangsbedingungen fixiert, so dass E bestimmt ist  Die zeitliche Entwicklung dh q(t) und p(t) sind also stets so, dass E(q(t),p(t))=E(t)= konstant ist. Das heißt E ist unabhängig von der Zeit und konstant, aber nicht Zwangsläufig von q und p.

Dies kann man nun als implizite Funktion auffasen, so dass man nur noch die Lösung von q(t) oder p(t) brauch, denn bzgl. der Zeit muss das jeweils andere sich so einstellen, dass E zeitlich konstant wird.

2017-09-19 01:14 - digerdiga in Beitrag No. 12 schreibt:
Wenn ich nun eine Lösung W gefunden habe, dann tauchen in dieser ja der Anzahl der Koordinaten q entsprechend viele Integrationskonstanten auf.
Nolting identifiziert diese nun mit den neuen Impulsen, so dass E(P) und nicht von q abhängt (was wir ja auch beim nach q ableiten benutzt haben), aber auch nicht von Q!
Folgt das indem man einfach die Integrationskonstanten zählt und nur soviele Koordinaten auftauchen können?


Ja genau. Durch so eine PDGL enstehen n+1 freie konstanten. Die Konstanten kannst du dir, wie du sagst als Integrationskonstanten vorstellen, welche beim Ableiten nach q keine Rolle spielen und die PDGL nicht beeinflussen.
Sie sind aber durchaus notwendig um die 2N Anfangsbedingungen zu bestimmen.
Dh wir erhalten durch die Lösung der PDGL <math>S(q_1, ..., q_n, a_1,...,a_n,t)+a_{n+1}</math>, aber wir wissen durch unseren Ansatz <math>S(q_1, ..., P_1, ...,P_N,t)</math>.
Also können wir die <math>a_n=P_n</math>=konst. setzen.

Am besten einfach ein paar Beispiele ansehen, dann sieht man woher die konstanten kommen.









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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-20 15:24


Eigentlich differenzier ich schon zwischen partiell und total ;-)
Aber zB folgendes ist mir nicht ganz klar:
E ist eine Zeitunabhängige Konstante. Eigenlich schon rein durch die Anfangsbedingung fixiert, müsste also <math>\partial_q E = 0</math> gelten.
Andererseits aber ist E aufgefasst als Hamiltonfunktion <math>-\partial_q E = \dot{p} \neq 0</math>. Interpretier ich hier was falsch?


Zu dem letzten Teil. Prinzipiell steht mir ja frei statt W(q,P), F1(q,Q) zu wählen und die neue H Funktion wäre automatisch unabhängig von P?



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Euler2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2017-09-20 18:54


Hallo digerdiga,

2017-09-20 15:24 - digerdiga in Beitrag No. 14 schreibt:
Eigentlich differenzier ich schon zwischen partiell und total ;-)
Aber zB folgendes ist mir nicht ganz klar:
E ist eine Zeitunabhängige Konstante. Eigenlich schon rein durch die Anfangsbedingung fixiert, müsste also <math>\partial_q E = 0</math> gelten.
Andererseits aber ist E aufgefasst als Hamiltonfunktion <math>-\partial_q E = \dot{p} \neq 0</math>. Interpretier ich hier was falsch?


Ah jetzt verstehe ich besser was du meinst.

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2017-09-20 15:24 - digerdiga in Beitrag No. 14 schreibt:
Zu dem letzten Teil. Prinzipiell steht mir ja frei statt W(q,P), F1(q,Q) zu wählen und die neue H Funktion wäre automatisch unabhängig von P?


Nein leider nicht, dass wäre ja super schön! Dann würde man sich nicht so viel Mühe machen eine Transformierende zu finden, die H'=0 bewirkt.

In meinen Beitrag NO 7. Habe ich doch ein Beispiel angeführt mit
<math> H(p,q)= \frac{p^2}{2m} + 1/2 m \omega^2 q^2 </math>, also der Harmonische Oszilator in einer Dimension. Die Transformierende sei <math>\phi=\frac{m}{2} \omega q^2 \cdot \cot(Q)</math>.
Es folgt <math>H'(Q,P)=\omega P. </math>

Rechne dieses Beispiel einfach nach, dann siehst du warum H' von P abhängt ;).





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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-21 01:19



2017-09-20 15:24 - digerdiga in Beitrag No. 14 schreibt:
Zu dem letzten Teil. Prinzipiell steht mir ja frei statt W(q,P), F1(q,Q) zu wählen und die neue H Funktion wäre automatisch unabhängig von P?


Nein leider nicht, dass wäre ja super schön! Dann würde man sich nicht so viel Mühe machen eine Transformierende zu finden, die H'=0 bewirkt.

In meinen Beitrag NO 7. Habe ich doch ein Beispiel angeführt mit
<math> H(p,q)= \frac{p^2}{2m} + 1/2 m \omega^2 q^2 </math>, also der Harmonische Oszilator in einer Dimension. Die Transformierende sei <math>\phi=\frac{m}{2} \omega q^2 \cdot cot(Q)</math>.
Es folgt <math>H'(Q,P)=\omega P. </math>

Rechne dieses Beispiel einfach nach, dann siehst du warum H' von P abhängt ;).

Eigentlich meinte ich nur, dass man statt P, Q nimmt.
Dies würde dann mit der Funktion F1(q,Q) gelingen.
Die Integrationskonstanten identifiziert man dann mit Q.
Oder was hattest du verstanden?

In deinem Beispiel würde dann statt der q,Q Abhängigkeit eine q,P Abhängigkeit auftauchen und das Ergebnis ist <math>-\omega Q</math>. Eigentlich trivial allerdings verdeutlicht es nochmal dass die Zuweisung Ort/Impuls recht willkürlich ist.



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Euler2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2017-09-21 12:36


Hallo digerdiga,

Ich hab gedacht, dass du irgendeine Hamilton Funktion hast <math>H(p,q)</math> hast und meintest, dass für beliebige kanonische Transformationen <math>\phi(q,Q)</math> gilt, dass <math>H'(P,Q)</math> unabhängig von P ist.

Aber du suchst anscheinend eine kanonische Traffo <math>\phi(q,Q)</math>, so dass <math>H'(P,Q)=0</math>. Also eine ähnliche Jacobi Hamilton Dgl.

2017-09-20 15:24 - digerdiga in Beitrag No. 14 schreibt:

Zu dem letzten Teil. Prinzipiell steht mir ja frei statt W(q,P), F1(q,Q) zu wählen und die neue H Funktion wäre automatisch unabhängig von P?

Anscheinend verwechselst du die kanonische Transformation mit der neuen Hamilton Funktion. Die neue Hamilton Funktion ist <math>H'(P,Q)=0</math> für beide Fälle, weil du ja gerade eine Transformation suchst, die H auf H'=0 transformierst.


Gehen wir also von <math>H'= H(q,p)+ \frac{\partial \phi(q,Q,t)}{\partial t}=0</math> aus. Dann steht es dir natürlich frei die Q als die neuen konstanten in der kanonischen Transformation zu identifizieren, weil auch gerade wegen H'=0, die P und Q Konstanten sind.



2017-09-21 01:19 - digerdiga in Beitrag No. 16 schreibt:


In deinem Beispiel würde dann statt der q,Q Abhängigkeit eine q,P Abhängigkeit auftauchen und das Ergebnis ist <math>-\omega Q</math>. Eigentlich trivial allerdings verdeutlicht es nochmal dass die Zuweisung Ort/Impuls recht willkürlich ist.

Ich weiß nicht wie du auf <math>H'=- \omega Q kommst </math>, dies sollte aber falsch sein.

Weiterhin ist es klar, dass die Zuordnung Impuls/Ort willkürlich ist. Die Ausdrucke sind nicht nur Hochsymetrisch, sondern es gibt auch kanonische Transformationen, die direkt den Ort und Impuls miteinander vertauschen.



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-22 15:06


Ich glaube wir reden aneinander vorbei.
Ich suche eine Trafo
<math>\phi(q,Q,t) = F_1(q,Q) -E t</math>, so dass
die HJ DGL erfüllt ist.
D.h. Also
<math>H(q,\partial_q F_1) = E</math>
Die neue H Funktion ist zwar null, aber ich habe von der alten H Funktion in neuen Koordinaten gesprochen, d.h. von der Konstanten E die in meinem Fall dann nur von Q abhängt und nicht von P.



Wenn du in deinem Beispiel cot(Q) durch cot(P) ersetzt kommst du doch gerade auf <math>H' = -\omega Q</math>



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