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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Überabzählbare Menge von Wohlordnungen auf den natürlichen Zahlen, Kenneth Kunen
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Universität/Hochschule Überabzählbare Menge von Wohlordnungen auf den natürlichen Zahlen, Kenneth Kunen
Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-10 18:48


Hallo,

ich interessiere mich momentan für die Grundlagen der Mathematik
und lese das Buch "The Foundations of Mathematics" von Kenneth Kunen.
Das Buch fasziniert mich. Leider sind viele Aussagen nur als Aufgaben
gestellt und nicht bewiesen. Man muß sehr viel Zeit investieren, da die Lösungsvorschläge nicht immer sehr umfangreich sind. Das Buch regt in jedem Fall zum Denken an, aber ich bin momentan an einer Hürde angekommen, die ich nicht überqueren kann.
Weiß jemand, ob es irgendwo Lösungen für die Aufgaben des Buches gibt?
Vielleicht kann mir auch jemand helfen:
Man geht von den natürlichen Zahlen und allen möglichen Wohlordnungen auf den natürlichen Zahlen aus. Nun betrachtet man die Äquivalenzklassen bezüglich Isomorphie (dieser Wohlordnungen). Man sollte nun zeigen können, dass die Menge dieser Äquivalenzklassen nicht mehr abzählbar ist.
Zudem sollte bei der Argumentation das Auswahlaxiom, das Ersetzungsaxiom (replacement) und das Fundierungsaxiom (foundation) nicht benutzt werden.
Die Aufgabe ist so nicht gestellt, aber meine Frage ergibt sich aus Exercise I.11.35, wie ich glaube.
Es ist nicht schlimm, wenn niemand antwortet, aber vielleicht habe ich das Glück auf jemanden zu treffen, der das Buch kennt und gelesen hat.

Viele Grüße,
Orthonom



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-10 22:50


Anstelle von Wohlordnungen auf den natürlichen Zahlen kann man genauso gut abzählbar-unendliche Wohlordnungen betrachten. Also, angenommen <math>(M_i)_{i \geq 0}</math> ist eine Folge von abzählbar-unendlichen, paarweise nicht-isomorphen Wohlordnungen. Die Aufgabe besteht darin, eine abzählbar-unendliche Wohlordnung <math>M</math> zu konstruieren, die zu keinem <math>M_i</math> isomorph ist. Es gibt viele Möglichkeiten, das zu tun. Die einfachste besteht darin, die disjunkte Vereinigung <math>M_0 \sqcup M_1 \sqcup \cdots</math> zu betrachten, und hier die <math>M_i</math> jeweils wie gegeben zu ordnen, und elementweise <math>M_i < M_{i+1}</math> zu erklären. Das Ersetzungsaxiom braucht man hier nicht, weil man eine direkte Abzählung von <math>M_0 \sqcup M_1 \sqcup \cdots</math> angeben kann, also letztendlich wieder die Wohlordnung auf den natürlichen Zahlen erklären kann.



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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-11 07:37


Hallo Triceratops,
vielen, vielen Dank für die Antwort.
Es könnte sein, dass die natürlichen Zahlen
und nicht eine unendlich-abzählbare Menge
von Wohlordnungen betrachtet wurden, weil
die zu konstruierende überabzählbare Menge
selbst wieder wohlgeordnet sein sollte
(das hatte ich nicht erwäht).
Klappt das bei Ihrem allgemeineren Ansatz auch?
Viele Grüße,
Orthonom



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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-12 08:05


Hallo Triceratops,
der Plan aus einer abzählbaren Menge von Wohlordnungen (die
nicht zueinander isomorph sind) eine Wohlordnung zu erzeugen,
die in dieser Aufzählung nicht vorkommt ist mir klar.
Dennoch verstehe ich nicht, warum die disjunkte Vereinigung
der Wohlordnung wieder eine Wohlordnung definiert und warum
dann diese zu keiner aus den abzählbar vielen isomorph ist.
Können Sie mir das nochmalsweiterhelfen?
Viele Grüße
Orthonom



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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-14 13:57


Hallo Tricerotops,

da Du meine präzisierte Frage nicht mehr neu an das Forum
zuläßt, wäre es nett, wenn Du Deinen Ansatz näher erläutern könntest,
wie man aus abzählbar-unendlich vielen Wohlordnungen,
die paarweise nicht isomorph sind, eine neue Wohlordnung bastelt,
die die zu keiner der bisherigen Wohlordnungen isomorph ist.
Auch der Hinweis auf ein Lehrbuch,welches diesen Satz mit Beweis
beinhaltet würde mir weiterhelfen.

Danke und Grüße,
Orthonom



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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-20 10:00


Hallo,

ich möchte Bezug nehmen auf obigen Lösungsvorschlag, den ich leider nicht verstanden habe:

Sei <math>(M_i)_{i \geq 0}</math>  eine Folge von abzählbar-unendlichen, paarweise nicht-isomorphen Wohlordnungen auf den natürlichen Zahlen. Wie läßt sich hieraus eine abzählbar-unendliche Wohlordnung <math>M</math> auf den natürlichen Zahlen konstruiren, die zu keinem <math>M_i</math> isomorph ist.
Das Auswahlaxiom, das Ersetzungsaxiom sowie das Fundierungsaxiom sollten für
eine Lösung nicht verwendet werden.
Eine Möglichkeit, so war oben der Vorschlag, besteht darin, die disjunkte Vereinigung <math>M_0 \sqcup M_1 \sqcup \cdots</math> zu betrachten, und hier die <math>M_i</math> jeweils wie gegeben zu ordnen, und elementweise <math>M_i < M_{i+1}</math> zu erklären.
Warum ist die vorgeschlagene Wohlordnung wieder eine Wohlordnung auf den natürlichen Zahlen? (sie ist vielmehr eine Wohlordnung auf abzählbar-unendlich vielen aneinandergesetzten natürlichen Zahlen).
Warum ist die vorgeschlagene Wohlordnung nicht isomorph zu einer der Wohlordnungen <math>M_i</math>?
Vielleicht kann mir jemand helfen.

Mit freundlichen Grüßen,
Orthonom




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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-21 06:23


Hallo Tricerotops,

warum ist die von Dir vorgeschlagene Wohlordnung nicht
isomorph zu einer der Wohlordnungen <math>M_i</math>?
Kennst Du eine Antwort oder war Dein erster Lösungsvorschlag
doch nicht passend?

Grüße Orthonom



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VerwirrteWanderduene
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-09-21 07:34


Sei <math>X</math> eine Menge. Gib explizit eine Bijektion zwischen folgenden Klassen an (das Wort Klasse ist an dieser Stelle lediglich eine Formulierungshilfe, man braucht keinen Klassenbegriff):

1. Die Klasse aller Isomorphieklassen von Wohlordnungen <math>(Y,<)</math>, deren Trägermenge <math>Y</math> gleichmächtig zu <math>X</math> ist.

2. Die Klasse aller Isomorphieklassen von Wohlordnungen <math>(X,<)</math> auf <math>X</math>.

Die gesuchten inversen Bijektionen lassen sich einfach hinschreiben. Du interessierst dich hier für den Fall <math>X=\mathbb{N}</math>. Triceratops beschreibt nämlich einen Weg zu zeigen, dass 1. überabzählbar ist.

Es gibt das bekannte Lemma: Ist <math>(M,<)</math> eine Wohlordnung und <math>f\colon M\to M</math> eine streng wachsende Funktion, so gilt <math>f(x)\ge x</math> für alle <math>x</math>.

Ist <math>f\colon\bigsqcup M_i\cong M_{i_0}\subseteq\bigsqcup M_i</math>, so ist das Bild von <math>f</math> aber durch das Element <math>\min M_{i_0+1}</math> beschränkt. Das ist unmöglich.



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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-21 09:20


Hallo VerwirrteWanderduene,

zunächst vielen Dank für Deine Antwort:
"Sei <math>X</math> eine Menge. Gib explizit eine Bijektion zwischen folgenden Klassen an (das Wort Klasse ist an dieser Stelle lediglich eine Formulierungshilfe, man braucht keinen Klassenbegriff):

1. Die Klasse aller Isomorphieklassen von Wohlordnungen <math>(Y,<)</math>, deren Trägermenge <math>Y</math> gleichmächtig zu <math>X</math> ist.

2. Die Klasse aller Wohlordnungsrelationen auf <math>X</math>.

Die gesuchten inversen Bijektionen lassen sich einfach hinschreiben. Du interessierst dich hier für den Fall <math>X=\mathbb{N}</math>. Triceratops beschreibt nämlich einen Weg zu zeigen, dass 1. überabzählbar ist.

Es gibt das bekannte Lemma: Ist <math>(M,<)</math> eine Wohlordnung und <math>f\colon M\to M</math> eine streng wachsende Funktion, so gilt <math>f(x)\ge x</math> für alle <math>x</math>.

Ist <math>f\colon\bigsqcup M_i\cong M_{i_0}\substeq\bigsqcup M_i</math>, so ist das Bild von <math>f</math> aber durch das Element <math>\min M_{i_0+1}</math> beschränkt. Das ist unmöglich."

Ich werde versuchen, mir Deine Erklärung zu erarbeiten.
Schreibe dann nochmals.

Außerdem Gratulation zu Deinem Nicknamen.

Viele Grüße,
Orthonom



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