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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionalanalysis » Summe von Identität und Operator besitzt einen inversen beschränkten Operator
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Autor
Universität/Hochschule J Summe von Identität und Operator besitzt einen inversen beschränkten Operator
grezebeze
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-13 14:12


Guten Tag zusammen,

Der nachfolgende Satz ist ähnlich der Neumannschen Reihe:

Sei <math>A:X\to X</math> ein beschränkter linearer Operator, X ein Banachraum. Es gilt <math>\Vert A\Vert \leq q<1</math>.
Dann hat der Operator <math>id_X+A</math> einen beschränkten linearen Operator.

Mir ist völlig klar, wie ich diesen Satz beweise, nur fällt mir dazu leider kein Beispiel ein... Kann mir jemand eins nennen?

Mfg
grezebeze



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BlakkCube
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-14 10:35


Hallo grezebeze,

betrachte die Integralgleichung

<math>\displaystyle u(x)+\intop_0^1 k(x,y)u(y){\rm d} y=f(x)</math>

mit <math>\displaystyle k\in L^2([0,1]\times [0,1])</math> und <math>\displaystyle f\in L^2([0,1])</math>. Gesucht ist ein <math>\displaystyle u\in L^2([0,1])</math>, das die obige gleichung fast überall erfüllt. Das ist eine Fredholm'sche Integralgleichung zweiter Art.

Die Gleichung können wir in naheliegender Form in Operatorschreibweise schreiben:

<math>\displaystyle (I+K)u=f</math>

Um die Gleichung zu lösen, müssen wir also eine Inverse des Operators <math>\displaystyle I+K</math> finden. (Anmerkung: <math>\displaystyle K</math> ist ein kompakter Operator. Existiert eine Inverse zu <math>\displaystyle I+K</math>, dann gibt es einen kompakten Integraloperator <math>\displaystyle \tilde{K}</math>, sodass <math>\displaystyle (I+K)^{-1}=I+\tilde{K}</math>.)

Gruß
BlakkCube


-----------------
'Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.'
- Jean-Baptist le Rond d'Alembert



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grezebeze
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-15 08:12


Hallo BlakkCube,

Na klar.. da sah ich den Wald vor lauter Bäumen nicht... Vielen Dank für die Antwort :)



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grezebeze
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-17 18:25


BlakkCube

Warum darf man die Gleichung eigentlich in diese FOrm bringen? Wenn man dies ausmultipiziert, dann erhält man doch eine nicht übereinstimmende Gleichung?



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BlakkCube
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-09-17 18:43


Der Operator <math>\displaystyle K:L^2[0,1]\longrightarrow L^2[0,1]</math> ist definiert durch <math>\displaystyle (Ku)(x)= \intop_0^1 k(x,y)u(y){\rm d}y</math>. Also ist <math>\displaystyle (I+K)u=Iu+Ku=u+\intop_0^1 k(\cdot,y)u(y){\rm d}y</math>. Meintest Du das?


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- Jean-Baptist le Rond d'Alembert



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grezebeze
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-17 20:56


Alles klar. Meine Frage ist beantwortet. Vielen Dank, du hast mir sehr weitergeholfen :)



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grezebeze hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
grezebeze hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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