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Mechanik » Theoretische Mechanik » Hamilton- Prinzip Herleitung der Bewegungsgleichungen für ein freies Teilchen
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Autor
Universität/Hochschule J Hamilton- Prinzip Herleitung der Bewegungsgleichungen für ein freies Teilchen
Physiker123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-13 15:14


Hallo zusammen,
um das Hamilton- Prinzip besser zu verstehen habe ich mir folgende Aufgabe gestellt.

Zeige, dass das Hamilton- Prinzip für ein kräftefreies Teilchen auf eine geradlinig, gleichförmige Bewegung führt!

Das Hamilton- Prinzip lautet: Die Bewegung eines mechanischen Systems läuft derart ab, dass die Wirkung

<math>S=\int\limits_{t_1}^{t_2} L~dt</math>
 
extermal wird.

Der Einfachheit halber betachtet ich das System zunächst in einer Dimension. Eine Verallgemeinerung der Ergebnisse sollte nicht schwierig sein.

Die Lagrange- Funktion ist:

<math>L=\frac{m}{2}\dot{x}^2</math>

Es muss gelten:

<math>\frac{dS}{dt}=0\Leftrightarrow \int\limits_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt} \frac{m}{2}\dot{x}^2~dt=0\Leftrightarrow \frac{m}{2}\big(\dot{x}(t_2)-\dot{x}(t_1)\big)=0</math>

Diese  Gleichung ist erfüllt für:

<math>\dot{x}(t_1)=\dot{x}(t_2)</math> oder <math>\dot{x}(t)=0~\forall~t</math>

Im Allgemeinen muss also gelten:

<math>\dot{x}(t)=\const.</math>

Es liegt damit eine gleichförmige Bewegung vor. Um die Geradlinigkeit zu zeigen, verallgemeinert man das Ergebnis auf drei Dimensionen.

Waren meine Überlegungen richtig?

Liebe Grüße und Danke im Voraus



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index_razor
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-13 15:43


Das Hamiltonsche Prinzip besagt ja nicht, daß die Wirkung zeitlich konstant ist, sondern daß sie stationär ist in bezug auf Variationen der Teilchenbahn mit fixen Randbedingungen.  Du mußt also Änderungen der Art <math>x\mapsto x +\epsilon \eta</math> betrachten, wobei <math>\eta</math> eine Kurve ist, die die Randbedingungen <math>\eta(t_1)=\eta(t_2)=0</math> erfüllt, aber ansonsten ziemlich beliebig ist.  Dann kannst du die Änderung von S mit der Zahl <math>\epsilon</math> untersuchen. Stationäre Werte erfüllen

<math>\frac{d S}{d\epsilon}=0</math>.

Wenn du allerdings schon weißt, daß die Euler-Lagrange-Gleichungen eine allgemeine Folge aus dem Hamiltonschen-Prinzip sind, ist es natürlich einfacher, deine Lagrange-Funktion in diese Gleichung einzusetzen.



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Physiker123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-14 10:15


Hallo und danke für deine Antwort
ist deine Aussage nicht äquivalent zu meiner? Wenn sie stationär ist, dann ist sie doch extremal. Oder nicht? Wenn wir davon ausgehen dass das richtig ist, was bedeutet extremal dann eigentlich? Extremal bezüglich der Zeit?




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index_razor
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-09-14 17:34


2017-09-14 10:15 - Physiker123 in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo und danke für deine Antwort
ist deine Aussage nicht äquivalent zu meiner? Wenn sie stationär ist, dann ist sie doch extremal. Oder nicht? Wenn wir davon ausgehen dass das richtig ist, was bedeutet extremal dann eigentlich? Extremal bezüglich der Zeit?



Nein, eben nicht extremal bzgl. der Zeit.  S ist nicht mal eine Funktion der Zeit, sondern ein Funktional der Bahnkurve.  Betrachten mußt du also Variationen von S auf Grund von Variationen dieser Kurve.

Das Hamiltonsche Prinzip besagt dann, daß jede Variation der physikalischen Bahn zu keiner Variation von S in erster Ordnung führt. Dies kann daran liegen, daß S für die physikalische Bahn ein Minimum oder ein Maximum besitzt.  Es kann aber auch sein, daß S dort eine Art Sattelpunkt hat.  Was davon zutrifft ist dem Hamiltonschen Prinzip relativ egal.



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Orangenschale
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Dabei seit: 31.05.2007
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Aus: Jena, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-09-15 19:22


Hallo,

das Hamiltonprinzip wird an vielen Stellen der klassischen Mechanik verwendet, z.B. auch bei der Balkenbiegung (ich habe in diesem Beitrag eine ausführliche Herleitung der sehr allgemeinen Euler-Lagrange Gleichungen gezeigt):
LinkAufgabe zu Lagrange

Viele Gruesse
OS


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If one is working from the point of view of getting beauty into one's equation, ... one is on a sure line of progress.

P.A.M. Dirac



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Physiker123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-16 08:20


danke euch beiden. Nun ist alles etwas klarer geworden :)



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Physiker123 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Physiker123 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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