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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Stetigkeit » Beweis zu gleichmäßiger Stetigkeit (Kompaktheit, metrische Räume)
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Autor
Universität/Hochschule J Beweis zu gleichmäßiger Stetigkeit (Kompaktheit, metrische Räume)
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-14 00:54


Hallo zusammen!

Ich verstehe eine Kleinigkeit beim Beweis zu folgendem Satz nicht:

fed-Code einblenden

Beweis:

Sei <math> \epsilon > 0 </math> vorgegeben. Dann gibt es zu jedem <math> x \in X </math> ein <math> \delta(x) > 0 </math>  so dass

<math> ||f(x), f(x')|| < \frac{\epsilon}{2} </math>  für alle <math> x' \in B_{\delta(x)} (x) </math>.

Da

<math> \bigcup_{x \in X} B_{\delta(x)/2} (x) = X </math>

und X kompakt ist, gibt es endlich viele Punkte <math> x_{1}, x_{2}, ..., x_{k} \in X </math> mit

<math> B_{\delta(x_{1})/2} \cup B_{\delta(x_{2})/2} \cup ... \cup B_{\delta(x_{k})/2} = X.</math>

Wir setzen

<math> \delta:= min(\delta(x_{1})/2, ..., \delta(x_{k})/2). </math>

Sind jetzt x, x' <math> \in X </math> zwei beliebige Punkte mit <math> ||x,x'|| < \delta </math>, so gibt es ein <math> j \in  \{1, ..., k\} </math> mit

<math> x \in B_{\delta(x_{j})/2} (x_{j}) </math>, und deshalb <math> x' \in B_{\delta(x_{j})}(x_{j}). </math>

Es folgt

<math> ||f(x_{j}), f(x)|| < \frac{\epsilon}{2} </math> und <math> ||f(x_{j}), f(x')|| < \frac{\epsilon}{2}. </math>

also <math> ||f(x), f(x')|| < \epsilon </math>

q.e.d.

-----------------------------------

Um nun zu meiner Frage zu kommen:

1) Ist in der ersten Zeile mit <math> B_{\delta(x)} (x) </math> solch ein <math> \delta (x) </math> gemeint, sodass <math> B_{\delta(x)} (x) \subset X </math> ?


Ich wäre euch wie immer sehr dankbar für eure Antworten!

Viele Grüße,
X3nion



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BerndLiefert
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Aus: Lehramtplanet
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-14 01:07


Ein Ball in X ist immer eine Teilmenge von X. Das ist unabhängig davon, welches delta man wählt.

Du hast vermutlich die (naheliegende, aber falsche) Vorstellung, dass es einen "umgebenden" Raum von X gibt, dessen Elemente in den Bällen liegen könnten.



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X3nion
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Mitteilungen: 86
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-14 14:45


Hallo und Danke für die Aufklärung!

Ja das war die falsche Vorstellung, nun ist es aber klar smile


Viele Grüße,
X3nion



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X3nion hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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