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Analysis » Topologie » Beispiel zu Nicht-Gültigkeit des Satzes von Heine-Borel
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Universität/Hochschule Beispiel zu Nicht-Gültigkeit des Satzes von Heine-Borel
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-14


Guten Abend liebe Community!

Ich habe eine Frage zu folgendem Beispiel zum Satz von Heini-Borel, wo er nicht gilt.

Der Satz lautet: Eine Teilmenge <math> A \subset \IR^{n} </math> ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.


Das Beispiel dazu: In einem beliebigen metrischen Raum ist eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge nicht notwendig kompakt. Dazu betrachte man folgendes Beispiel: Sei <math> X := \IR^{n} </math>, aber mit einer anderen Metrik als der euklidischen Metrik versehen:

<math> \delta : X x X \to \IR, \delta(x,y) := min(||x-y||, 1||) </math>.

Die offenen Mengen bzgl. dieser Metrik sind nach einer vorherigen Aufgabe dieselben wie bzgl. der euklidischen Metrik; also sind auch die kompakten Mengen dieselben. Der ganze Raum X ist beschränkt (mit diam(X) = 1) und abgeschlossen, aber nicht kompakt.


Meine Frage hierzu:

Wieso ist der ganze Raum X nicht kompakt? Dies sehe ich so irgendwie nicht.


Ich wäre euch dankbar, wenn ihr mich diesbezüglich aufklären könntet! smile


Viele Grüße,
X3nion



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Chandler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-14


Hallo X3nion,

2017-09-14 01:00 - X3nion im Themenstart schreibt:
Wieso ist der ganze Raum X nicht kompakt? Dies sehe ich so irgendwie nicht.

weißt du denn was kompakt bedeutet? Was muss dann bei Kompaktheit gelten?

Viele Grüße
Chandler

PS: Bitte verbessere mal die Überschrift wink


-----------------
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BerndLiefert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-09-14


Abstrakt: Weil der Raum die gleichen kompakten Mengen hat wie der "normale" R^n, und der ist nicht kompakt.


Konkret:
Nimm für jeden Punkt den Ball vom Radius 1/2 um x.
Diese Bälle bilden eine offene Überdeckung des Raumes (warum?).
Es gibt keine endliche Teilüberdeckung (warum?).



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Chandler
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Aus: Hamburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-09-14


2017-09-14 01:11 - BerndLiefert in Beitrag No. 2 schreibt:
Konkret:
Nimm für jeden Punkt den Ball vom Radius 1/2 um x.
Diese Bälle bilden eine offene Überdeckung des Raumes (warum?).
Es gibt keine endliche Teilüberdeckung (warum?).

Alternativ mit dem Folgenkriterium für Kompaktheit.


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-15


Hallo zusammen und Danke für eure Antworten!

Was bedeutet "Folgenkompaktheit"?
Und die Überschrift wurde geändert, von Heini-Borel zu Heine-Borel (ups^^) biggrin

Ich probiere es mal mit der Variante von Chandler:


Sei <math> x \in X:= \IR^{n} </math>

Wähle nun die Umgebung <math> B_{1/2}(x)</math>.

Es gilt nun <math> \bigcup_{x \in X} B_{1/2}(x) = X </math>

also <math> X \subset \bigcup_{x \in X} B_{1/2}(x) </math>

Da der <math> IR^{n} </math> keine endliche Teilüberdeckung einer beliebig vorgegebenen offenen Überdeckung besitzt, kann auch X keine endliche Teilüberdeckung besitzen.



Wären die Überlegungen soweit okay?
Wäre für euer Feedback und eure Unterstützung wie immer dankbar!

Viele Grüße,
X3nion



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-09-15


2017-09-15 03:12 - X3nion in Beitrag No. 4 schreibt:
Sei <math> x \in X:= \IR^{n} </math>

Wähle nun die Umgebung <math> B_{1/2}(x)</math>.

Es gilt nun <math> \bigcup_{x \in X} B_{1/2}(x) = X </math>

also <math> X \subset \bigcup_{x \in X} B_{1/2}(x) </math>

Da der <math> IR^{n} </math> keine endliche Teilüberdeckung einer beliebig vorgegebenen offenen Überdeckung besitzt, kann auch X keine endliche Teilüberdeckung besitzen.
Nein, so hast du leider nichts gezeigt... Du solltest von einer beliebigen (fest gewählten) offenen Überdeckung ausgehen, zeige, dass diese Überdeckung (hier: <math>\bigcup_x B_{1/2}(x)</math>) keine endliche Teilüberdeckung besitzen kann.

Betrachte also die offene Überdeckung <math>X\subset \bigcup_x B_{1/2}(x)</math>. Unter der gegebenen Metrik ist <math>B_{1/2}(x)=\{y\in X; \delta(x,y)<1/2\}=\{y\in X; ||x-y||<1/2\}</math>. - Hilft dir die letzte Darstellung von der Kugel weiter?



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-15


Hallo Saki17 und Danke für deine Antwort!

Hm würde man das vielleicht mit einem Widerspruchsbeweis angehen?
Ist das zielführend, oder geht es auch direkt?

Also angenommen es gäbe eine offene Teilüberdeckung, dann gäbe es endlich viele Punkte <math> x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} \in X </math> mit

<math> X \subset B_{1/2}(x_{1}) \cup B_{1/2}(x_{2}) \cup ... \cup B_{1/2}(x_{n}) </math>

also <math> X \subset \{y\in X; ||x_{1}-y||<1/2\} \cup \{y\in X; ||x_{2}-y||<1/2\} \cup ... \cup \{y\in X; ||x_{n}-y||<1/2\} </math>


Nun bin ich mir nicht ganz sicher.
Ist es nun so, dass daraus folgen würde, dass der <math> \IR^{n} </math> endlich wäre, was ein Widerspruch wäre?


Wäre euch wie immer dankbar für eure Antworten!

Viele Grüße,
X3nion



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-09-15


2017-09-15 15:36 - X3nion in Beitrag No. 6 schreibt:
also <math> X \subset \{y\in X; ||x_{1}-y||<1/2\} \cup \{y\in X; ||x_{2}-y||<1/2\} \cup ... \cup \{y\in X; ||x_{n}-y||<1/2\} </math>

Nun bin ich mir nicht ganz sicher.
Ist es nun so, dass daraus folgen würde, dass der <math> \IR^{n} </math> endlich wäre, was ein Widerspruch wäre?
Eine offene Kugel (in der Norm <math>||\cdot||</math>) <math>B_{||\cdot||,1/2}(x)</math> enthält schon überabzählbar viele Punkte (Irre ich mich? Das ist zumindest richtig für die euklidische Norm, die üblicher Anschauung der "Kugel" entspricht), drin besteht der Widerspruch also nicht.

Ich würde so argumentieren: Es ist offensichtlich falsch, dass <math>\mathbb{R}^n</math> von endlich vielen Norm-Kugeln (jeweils mit endlichem Radius) überdeckt ist. Denn dies würde bedeuten, dass der normierte Vektorraum <math>\mathbb{R}^n</math> Norm-beschränkt ist (nehme eine Norm-Kugel mit hinreichend großem Radius so, dass diese Kugel die endlich viele Kugel die wir oben betrachteten enthält). Aber ein von Null verschiedener normierter Raum ist niemals Norm-beschränkt:

<math>\forall x\in \mathbb{R}^n~\forall \lambda\in \mathbb{R}: |\lambda x|=|\lambda|x </math>.

Spricht, man kann Vektoren beliebig groß skalieren. Davon leiten wir einen Widerspruch ab.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-15


Hallo Saki17,

ich danke dir für deine ausführliche Antwort!

Hmm es ist alles bisschen tricky, denn bezüglich dieser Metrik ist der ganze Raum X := <math> \IR^{n} </math> beschränkt mit diam(X) = 1.
Was betrachtest du bzw. was wird im Beispiel betrachtet, den gesamten <math> \IR^{n} </math> mit der Standard-Metrik oder der gegebenen Metrik?

Könntest du das vielleicht noch etwas erläutern?


Viele Grüße,
X3nion



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-09-15


2017-09-15 20:04 - X3nion in Beitrag No. 8 schreibt:
denn bezüglich dieser Metrik ist der ganze Raum X := <math> \IR^{n} </math> beschränkt mit diam(X) = 1.
Wäre die Beschränktheit ein Problem? Was wolltest du hinaus?

Zu einem beliebigen metrischen Raum <math>(M, d)</math> kann man immer eine zu <math>d</math> äquivalente Metrik <math>d'</math> auf <math>M</math> definiert, z. B. <math>d'=\delta</math> wie am Anfang oder <math>d'(x,y):=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}</math>. Mit "äquivalente Metriken" meine ich dass die beiden dieselbe Topologie auf <math>M</math> induzieren.

2017-09-15 20:04 - X3nion in Beitrag No. 8 schreibt:
Was betrachtest du bzw. was wird im Beispiel betrachtet, den gesamten <math> \IR^{n} </math> mit der Standard-Metrik oder der gegebenen Metrik?
Ich habe die Frage nicht ganz verstanden... Ich habe kein (neues) Beispiel genannt, nur führe ich den Ansatz von BerndLiefert in #2 durch.

Woran liegt die Unklarheit?



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-16


Hallo Saki17,

erstmal Dankeschön für deinen Beitrag.

Ja genau die Beschränktheit diam(X) = 1 ist mein Verständnisproblem, also das mit dem kompletten <math> \IR^{n} </math> da passiert.
Wird er komprimiert?

Ist es denn so, dass alle Punkte, die weit außerhalb liegen, auf einen Raum mit dem Durchmesser 1 projeziert werden, also wird der Raum auf den Durchmesser 1 komprimiert und dieser komprimierte Raum (der sich verhältnismäßig nah am Nullpunkt befindet) enthält dann alle Punkte aus dem <math> \IR^{n} </math> ?

Und was ist mit den Bällen. Es gilt ja <math> \bigcup_{x \in X} B_{1/2}(x) = X := \IR^{n} </math>.
Aber ist hier bereits der "neue" <math> IR^{n} </math> gemeint mit dem Durchmesser 1? Und die Bälle befinden sich auch innerhalb dieser Durchmessers?




Viele Grüße,
X3nion



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-09-16


2017-09-16 01:37 - X3nion in Beitrag No. 10 schreibt:
Ja genau die Beschränktheit diam(X) = 1 ist mein Verständnisproblem, also das mit dem kompletten <math> \IR^{n} </math> da passiert.
Wird er komprimiert?
Ja, er wird komprimiert - in der Metrik. Aber wie gesagt, jeder metrische Raum lässt sich komprimieren, s. Beitrag #9. Nicht jedoch in der Norm (im Fall der normierten Räume), s. Beitrag #7.

Weil man jeden metrischen Raum beschränkt machen kann und der Raum in sich abgeschlossen ist, wäre es etwas sinnlos, Kompaktheit einfach durch Abgeschlossenheit und Beschränktheit zu charakterisieren (so würde jeder metrische Raum kompakt).


2017-09-16 01:37 - X3nion in Beitrag No. 10 schreibt:
Ist es denn so, dass alle Punkte, die weit außerhalb liegen, auf einen Raum mit dem Durchmesser 1 projeziert werden, also wird der Raum auf den Durchmesser 1 komprimiert und dieser komprimierte Raum (der sich verhältnismäßig nah am Nullpunkt befindet) enthält dann alle Punkte aus dem <math> \IR^{n} </math> ?
Hmm, ich weiß nicht ob man die Metrik <math>\delta</math> so interpretieren kann. Aber ich würde von solcher Vorstellung abraten, da es eventuell zu Verwirrung führt.

Unser Ziel war, ein Beispiel anzugeben, sodass der Satz von Heine-Borel für beliebigen metrischen Raum bzw. für <math>\IR^n</math> mit beliebiger Metrik nicht gilt.  

Wiederholen wir den Satz nochmal: Für <math>\IR^n</math> in der von der Norm induzierten Topologie (alle Norme in <math>\IR^n</math> sind äquivalent) ist "kompakt=beschränkt+abgeschlossen".
EDIT: Man kann zeigen, dass <math>\delta</math> eine andere Topologie induziert als die von der euklidischen Metrik auf <math>\IR^n</math>. Es ist z.B. <math>\IQ</math> offen in der "<math>\delta</math>-Topologie", nicht aber in der euklidischen.


2017-09-16 01:37 - X3nion in Beitrag No. 10 schreibt:
Und was ist mit den Bällen. Es gilt ja <math> \bigcup_{x \in X} B_{1/2}(x) = X := \IR^{n} </math>.
Aber ist hier bereits der "neue" <math> IR^{n} </math> gemeint mit dem Durchmesser 1? Und die Bälle befinden sich auch innerhalb dieser Durchmessers?
Nein, als Menge bleibt <math> \IR^{n} </math> stets unverändert, nur wird er mit verschiedenen Strukturen versehen.

Die Bälle sind auch Mengen. (Habe ich deine Frage richtig verstanden?)



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-17


Hallo Saki17,

Danke für deine ausführlichen Erläuterungen!
Das alles muss ich mir noch einmal ausführlich auf der Zunge zergehen lassen smile
Also die Mengen bleiben dieselben, sie sind aber mit einer anderen Abstandsmessung versehen und somit ändert sich ihre Dimensionierung.
Könnte man das so in etwa beschreiben?


Was ist denn die Begründung dafür, dass sich ein normierter Raum im Gegensatz zu einem metrischen Raum nicht komprimieren lässt?
Ist es wegen der Tatsache, dass <math>\forall x\in \mathbb{R}^n~\forall \lambda\in \mathbb{R}: |\lambda x|=|\lambda|x </math>.


Viele Grüße,
X3nion



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HellsKitchen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2017-09-17


Beschränktheit ist ein metrischer Begriff.
Kompakt, offen, und abgeschlossen sind allgemeine topologische Eigenschaften.

Deine beiden <math>\mathbb{R}^n</math> sind topologisch äquivalent - homöomorph, aber nicht isometrisch.

Deshalb sind die gleichen Teilmengen offen, kompakt oder abgeschlossen.
Die beschränkten Teilmengen stimmen aber nicht immer überein.

Der Heine-Borel-Satz überträgt sich nicht auf die neue Metrik: <math>\delta</math>

Gruß HellsKitchen



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Chandler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2017-09-17


Vielleicht zur Vollständigkeit mal noch zum Folgenkriterium.

2017-09-15 03:12 - X3nion in Beitrag No. 4 schreibt:
Was bedeutet "Folgenkompaktheit"?

Ein Raum heißt folgenkompakt, wenn jede Folge in diesem Raum
eine konvergente Teilfolge besitzt.
In metrischen Räumen sind die Begriffe kompakt und folgenkompakt äquivalent.

Demnach kannst du einfach mal (für <math>n=1</math>) die simple Folge
<math>(1,2,3,4,5, \ldots)</math> nehmen. Offensichtlich hat jedes Folgenglied von einem anderen den Abstand <math>1</math>. Es kann also keine konvergente Teilfolge geben. Fertig smile




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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2017-09-17


2017-09-17 03:11 - X3nion in Beitrag No. 12 schreibt:
Also die Mengen bleiben dieselben, sie sind aber mit einer anderen Abstandsmessung versehen und somit ändert sich ihre Dimensionierung.
Könnte man das so in etwa beschreiben?
Ich fand HellsKitchens Antwort in #13 ist einleuchtend. Hoffentlich erklärt sie deine Frage.


2017-09-17 03:11 - X3nion in Beitrag No. 12 schreibt:
Was ist denn die Begründung dafür, dass sich ein normierter Raum im Gegensatz zu einem metrischen Raum nicht komprimieren lässt?
Ist es wegen der Tatsache, dass <math>\forall x\in \mathbb{R}^n~\forall \lambda\in \mathbb{R}: |\lambda x|=|\lambda|x </math>.
Ja.

EDIT. Ich habe in meinem Beitrag #11 zusätzlich angedeutet, dass <math>\delta</math> und <math>||\cdot||</math> verschiedene (vergleichbare) Topologien induzieren.

Mich interessiert auch, warum der Satz von Heine-Borel nicht gilt für <math>\IR^n</math> mit der Topologie aus <math>\delta</math>. M.E. ist die Verschiedenheit der Topologien verantwortlich, denn Kompaktheit ist, wie gesagt, ein topologischer Begriff.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-27


Hallo zusammen,

vielen Dank für eure vielen Antworten!
Mein Laptop war defekt, deshalb komme ich nun erst zum Schreiben :(
Sorry dafür!

a) Zuerst einmal zur Folgenkompaktheit, wie von dir beschreiben Chandler: dies scheint mir die einfachste Variante zum Beweis zu sein!
Und ich kann die Folge wählen, da die offenen und auch die kompakten Mengen im im Raum <math> \IR^{n} </math> versehen mit der <math> \delta </math> Metrik dieselben sind wie versehen mit der Standardmetrik?


b) Nun als kurze Zusammenfassung: Man hat erst einmal gezeigt, dass die offenen und somit auch kompakten Mengen bezüglich der <math> \delta </math> Metrik dieselben sind wie bezüglich der Standardmetrik.
Der ganze Raum <math> \IR^{n} </math> ist bezüglich der <math> \delta </math> Metrik beschränkt, weil die Metrik den größten Abstand 1 erlaubt.

Sei <math> x \in X:= \IR^{n} </math>
Wähle die Umgebung <math> B_{1/2}(x)</math>.
Es gilt <math> \bigcup_{x \in X} B_{1/2}(x) = X </math>
also deshalb <math> X \subset \bigcup_{x \in X} B_{1/2}(x) </math>

Annahme: Es gäbe eine offene Teilüberdeckung, dann gäbe es endlich viele Punkte <math> x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} \in X </math> mit
<math> X \subset B_{1/2}(x_{1}) \cup B_{1/2}(x_{2}) \cup ... \cup B_{1/2}(x_{n}) </math>

Der gesamte <math> \IR^{n} </math> kann aber unmöglich von endlich vielen Teilüberdeckungen überdeckt werden. Wähle eine Norm-Kugel, welche einen Radius besitzt, der groß genug ist, um die endlichen Überdeckungen <math> B_{1/2}(x_{1}) \cup B_{1/2}(x_{2}) \cup ... \cup B_{1/2}(x_{n}) </math> selbst zu überdecken.

Daraus würde aber folgen, dass der normierte Vektorraum <math> \IR^{n} </math> beschränkt wäre, was einen Widerspruch darstellt, denn ein normierter Vektorraum kann wegen <math> \forall x, \lambda \in \IR: |\lambda x| = |\lambda||x| </math> und somit lassen sich Vektoren beliebig groß skalieren.


Wäre das so korrekt?
Ich wäre euch wie immer sehr dankbar für eure Antworten!

Viele Grüße,
X3nion



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Chandler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2017-09-27


2017-09-27 14:46 - X3nion in Beitrag No. 16 schreibt:
a) Zuerst einmal zur Folgenkompaktheit, wie von dir beschreiben Chandler: dies scheint mir die einfachste Variante zum Beweis zu sein!
Und ich kann die Folge wählen, da die offenen und auch die kompakten Mengen im im Raum <math> \IR^{n} </math> versehen mit der <math> \delta </math> Metrik dieselben sind wie versehen mit der Standardmetrik?

Im Prinzip ja, aber darüber muss man beim Folgenkriterium überhaupt nicht nachdenken. Deine Metrik <math>\delta</math> stimmt für Abstände kleiner als 1 ja mit der Standardmetrik überein. Also ändert sich für den Abstand von benachbarten Folgengliedern ja nichts. Das ist alles.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2017-09-28


Hi X3nion,

zu b). Ja, so meinte ich.



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X3nion
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Hallo zusammen,

vielen lieben Dank an euch, mir ist nun vieles klarer geworden.
Der Rest kommt dann mit der weiteren Beschäftigung in der Mat(h)erie smile

Viele Grüße,
X3nion



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