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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Topologie » Beispiel zu Satz über Kompaktheit
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Universität/Hochschule Beispiel zu Satz über Kompaktheit
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-14


Hallo liebe Community!

Zu einem Beispiel bezogen auf einen Satz über kompakte Mengen habe ich eine Frage.

Satz: Seien X,Y Hausdorff-Räume und <math> f: X \to Y </math> eine stetige Abbildung. Ist <math> K \subset X </math> kompakt, so ist auch <math> f(K) \subset Y </math> kompakt.

Ein Beispiel hierzu:

Es folgt aus diesem Satz: Sind zwei Hausdorff-Räume X,Y homöomorph, und ist einer der beiden Räume kompakt, so auch der andere. Zum Beispiel ist die abgeschlossene Einheitskugel

<math> K:= \{x \in \IR^{n} : ||x|| \le 1 \} </math>

weder zur offenen Einheitskugel, noch zum ganzen <math> \IR^{n} </math> homöomorph. Ebenso folgt, dass das Intervall <math> [0, 2\pi[ \subset \IR </math> nicht zur 1-Sphäre

<math> S^{1} = \{(x,y) \in \IR^{2} : x^{2} + y^{2} = 1\} </math>

homöomorph ist.


Die Fragen hierzu:

1) Wieso ist die abgeschlossene Einheitskugel weder zur offenen Einheitskugel, noch zum ganzen <math> \IR^{n} </math> homöomorph? Und wieso das Intervall <math> [0, 2\pi[ \subset \IR </math> nicht zur 1-Sphäre?

2)Und was hat dieses Ganze zu tun mit dem Satz oder mit der Folgerung "Sind zwei Hausdorff-Räume X,Y homöomorph, und ist einer der beiden Räume kompakt, so auch der andere" ?



Wie immer wäre ich euch sehr dankbar für euer Antworten!


Viele Grüße,
X3nion



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BerndLiefert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-14


Tipp: Die 1-Sphäre und die abgeschlossene Einheitskugel sind kompakt...



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-15


Hallo und Danke für deinen Tipp,

leider bringt er mich nicht so richtig weiter :\

Welchen Bezug hat das Beispiel zum Satz oder eben zu der Folgerung, dass wenn zwei Hausdorff-Räume X,Y homöomorph zueinander sind und wenn einer der beiden Räume kompakt ist, so der andere?



Viele Grüße,
X3nion



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BerndLiefert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-09-15


Erweiterter Tipp: Die 1-Sphäre ist kompakt, das halboffene Intervall nicht. Beide sind hausdorffsch. Nimm an, dass es einen Homöomorphismus gibt, und wende den Satz an.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-15


Hallo Bernd und Danke für den erweiterten Tipp!

Ahh und damit folgt der Widerspruch, denn laut Annahme des Homöomorphismus und mit Anwendung des Satzes müsste auch das halboffene Intervall kompakt sein? smile


Viele Grüße,
X3nion



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-15


Hallo zusammen,

es wäre super, wenn ihr mir ein kurzes Feedback zu meiner Idee geben könntet!


Vielen Dank im Voraus und Viele Grüße,
X3nion



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