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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Topologie » Homöomorphismus von R^n mit offener Einheitskugel
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Universität/Hochschule Homöomorphismus von R^n mit offener Einheitskugel
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-14


Hallo!

Ich verstehe eine Sache nicht bei einem Beispiel.
Und zwar soll gezeigt werden, dass der <math> \IR^{n} </math> zur offenen Einheitskugel

<math> B:= \{x \in \IR^{n} : ||x|| < 1 \} </math>

homöomorph ist, wobei ein Homöomorphismus <math> f: \IR^{n} \to B </math> gegeben ist durch

<math> x \to f(x) := \frac{x}{1 + ||x||} </math>.


Diese Abbildung ist stetig, da <math> x \to x </math> und <math> x \to 1 + ||x|| </math> stetig sind.

Die Umkehrabbildung ist

<math> g:= f^{-1} : B \to \IR^{n}, x \to \frac{x}{1 - ||x||} </math>, dies habe ich auch nachgeprüft.


Die Frage die ich nun habe bezieht sich auf den Beweis der Bijektivität.


a) Mein Versuch bisher zur Injektivität:

<math> f(x_{1}) = f(x_{2}) <=> \frac{x_{1}}{1 + ||x_{1}||} = \frac{x_{2}}{1 + ||x_{2}||} </math>

Kann man nun direkt daraus folgern, dass <math> x_{1} = x_{2} </math> gilt, oder wären weitere Zwischenschritte notwendig?

b) Und zur Surjektivität:

Hier habe ich keinen Ansatz. Zu zeigen ist, dass zu jedem <math> y \in B </math> mindestens ein <math> x \in R^{n} </math> existiert mit

f(x) = y.


Ich bin wie immer für jeden Tipp und jede Antwort dankbar!

Viele Grüße,
X3nion



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-14


Hallo,
angenommen, nicht injektiv.
Setze an, daß die Funktionswerte gleich sind.
bringe den linken Nenner nach rechts. Dann ist x1=x2*Zahl
Bilde wieder die Norm.
Folgere daraus, daß die Normen von x1 und x2 gleich sind.
Daraus folgt Widerspruch, wie man leicht sieht.

Surjektivität hast Du schon gezeigt
Gruß Wauzi


-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-09-14


Ein Widerspruchsbeweis ist nicht nötig. Man kann den (unechten) Widerspruch in Wauzis Post einfach weglassen. Aber wenn man schon eine Umkehrabbildung gefunden hat, ist die Bijektivität ohnehin erledigt. Merke:

Eine bijektive Abbildung ist eine Abbildung, die eine Umkehrabbildung besitzt.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-15


Hallo ihr beide und Danke für eure Beiträge!

Im Buch steht die Umkehrabbildung schon drin und man soll eben nachprüfen, dass sie stetig, bijektiv und wirklich die "echte Umkehrabbildung" ist.

Ich habe nachgeprüft, dass die Umkehrabbildung die "echte Umkehrabbildung" ist. Also <math> \frac{x}{1 + ||x||} = y </math> und für dieses y gilt dann auch
<math> \frac{y}{1 - ||y||} = x </math> bzw. <math> \frac{\frac{x}{1 + ||x||}}{1 - ||\frac{x}{1 + ||x||}||}</math> = x

Frage: Könnte man es somit also auch in einer Übungsaufgabe oder Klausur als hinfällig deklarieren, den Beweis für die Bijektivität über Injektivität+Surjektivität erbringen zu müssen?



Trotzdem noch aus Interesse kurz zur Injektivität:

<math> f(x_{1}) = f(x_{2}) <=> \frac{x_{1}}{1 + ||x_{1}||} = \frac{x_{2}}{1 + ||x_{2}||} </math> <=> <math> x_{1}( 1 + ||x_{2}||) = x_{2} (1 + ||x_{1}||) </math> => <math> || x_{1} + x_{1}||x_{2}|| || = || x_{2} + x_{2}||x_{1}|| || </math> <=> <math> |x_{1}| * ||(1 + ||x_{2}||)|| = |x_{2}| * ||(1 + ||x_{1}||)|| </math>

Damit die letzte Äquivalenz gilt, muss aber <math> x_{1} = x_{2} </math> gelten.


Und zur Surjektivität:
Hättet ihr einen Tipp, wie man diese beweisen könnte?



Viele Grüße,
X3nion



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-15


Wäre super, wenn ihr mir kurz antworten könntet!

Vielen Dank im Voraus und viele Grüße,
X3nion



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Wauzi
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-09-15


Dieletzte Gleichung muß noch genauer untersucht werden, damit man das sieht.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-15


Hallo Wauzi,

hast du mir einen Tipp, wie? smile

Viele Grüße,
X3nion



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-09-15


Es gibt mehrere Möglichkeiten bei der Surjektivität:
Einmal, indem Du zeigst, daß die gegebene Abbildung die Umkehrabbildung zu Deiner Abbildung ist.
Hier geht es auch anders:
Betrachte alle x auf einer festen Kugel (also nicht das Innere!) um 0.
Dann sind die Bilder eine Streckung mit festem Streckungsfaktor.
Jetzt überlege Dir, wie das Bild ausschaut und dann, ob die Abbildung surjektiv ist

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-09-15


Es ist ||x||*||(1+||x||)||=||x||*(1+||x||)=||x||+||x||*||x||



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-16


Hallo Wauzi und Danke für deine zwei Beiträge!

a) Mit deinem Umformungstipp ist:

<math> |x_{1}| * ||(1 + ||x_{2}||)|| = |x_{2}| * ||(1 + ||x_{1}||)|| </math> <=> <math> ||x_{1}|| + ||x_{1}|| * ||x_{2}|| </math> = <math>||x_{2}|| + ||x_{2}|| * ||x_{1}|| </math> <=> <math>||x_{1}|| = ||x_{2}|| => x_{1} = x_{2} </math>

Wäre das so korrekt? Könnte daraus nicht auch z.B. <math> x_{1} = - x_{2} </math> folgen?


b) Was meinst du mit "Betrachte alle x auf einer festen Kugel (also nicht das Innere!) um 0", also was bedeutet die Einschränkung "nicht das Innere" ?



Viele Grüße,
X3nion



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-09-16


||x1||=||x1|| einsetzen in die Anfangsgleichung. Dann folgt x1=x1

"Kugel" ist die Menge der Punkte, die von 0 den Radius als Abstand haben, während manche auch das Innere darunter verstehen.
Für meinen Ansatz ist die genaue Definition wichtig, da dann die Norm konstant ist.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-17


Hallo Wauzi,

a) sorry ich bin gerade irgendwie blind.
Wo meinst du das mit "||x1||=||x1|| einsetzen in die Anfangsgleichung. Dann folgt x1=x1" ?
Sind meine Umformungsschritte nicht korrekt?

b) Also betrachtet man quasi den Rand einer Kugel?


Viele Grüße,
X3nion



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2017-09-17


Schreibfehler von mir, es muß rechts der Gleichung natürlich x2 heißen



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2017-09-17


Noch mal zum Post von Tricetops:

Dabei muss man beachten, dass <math>g:N\to M</math> nur dann die Umkehrabbildung von <math>f:M\to N</math> ist, wenn sowohl <math>g\circ f=Id_M</math> als auch <math>f\circ g=Id_N</math> ist.

Wally



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-27


Hallo zusammen,

Danke für eure Antworten!
Mein Laptop ist kaputt gegangen und folglich komme ich nun erst zum Antworten, sorry!

Der Kommentar von dir, Wally, leuchtet mir ein.

Ich würde nun gerne die Surjektivität der Funktion <math> f: \IR^{n} \to B </math>
<math> x \to f(x) := \frac{x}{1 + ||x||} </math>

wobei <math> B:= \{x \in \IR^{n} : ||x|| < 1 \} </math>


Wauzi gab mir den Tipp, ich solle alle x auf einer festen Kugel um 0 betrachten, wobei mit Kugel nur der Rand und nicht das Innere gemeint ist. Das sind ja dann alle Punkte, welche <math> x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ... + x_{n}^{2} = R^{2} </math> bzw. <math> ||x|| = \sqrt{R} </math> bzw. <math> ||x|| = r </math> für <math> r:= \sqrt{R} </math> ( jeweils mit <math> R \in \IR_{+} </math> beliebig und daraus folgt <math> r \in \IR_{+} </math> beliebig)

erfüllen. Soweit korrekt?

Die Funktion g: <math> V:= \{x \in \IR^{n}, ||x|| = r\} \to W:\{x \in \IR^{n}, ||x|| = \frac{r}{1+r}\}; x \to g(x): = \frac{x}{1+r} </math>

g(x) = <math> \frac{\left(\begin{array}{c}x_{1} \\0 \\...\\0\end{array}\right)}{1+r} + \frac{\left(\begin{array}{c}0 \\x_{2} \\...\\0\end{array}\right)}{1+r} + ... + \frac{\left(\begin{array}{c} 0\\0 \\...\\x_{n}\end{array}\right)}{1+r}</math>

Es folgt, dass alle Punkte auf der Kugel mit dem Radius r vom Nullpunkt abgebildet werden auf Punkte einer Kugel mit dem Radius <math> \frac{r}{1+r} </math> vom Nullpunkt.
Die Abbildung ist somit surjektiv, denn das Bild von V ist gleich ganz W.

Da <math> \IR^{n} </math> sich als Vereinigung aus unendlich vielen Kugeln mit Radius <math> r \in \IR </math> darstellen lässt, folgt die Surjektivität der Funktion f.



Wäre das so okay?
Ich wäre euch wie immer sehr dankbar für eure Antworten!

Viele Grüße,
X3nion



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