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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Surjektivität
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Universität/Hochschule J Surjektivität
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-14


Hallo zusammen!

Ich bin mir bei folgendem Zusammenhang nicht ganz sicher.

Die Menge
f(X) (also das Bild von ganz X unter f) heißt auch die
Bildmenge oder einfach das Bild von f.

Eine Abbildung f: X <math> \to </math> Y ist surjektiv genau dann, wenn f(X) = Y ist, d.h. ihr Bild gleich ganz Y ist.

Ist es so, dass - aufgrund der Eigenschaft der Abbildung f - jedes Element von Y von einem Element von X getroffen werden muss, da ansonsten das Bild von f nicht gleich Y wäre?



Viele Grüße,
X3nion



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-14


Wenn du dir unsicher bist, versuche doch, die Aussage präzise zu beweisen. Dabei gehen nur die Definitionen ein, sonst nichts. Ein direkter Beweis geht dabei am schnellsten, also Widersprüche sind nicht nötig.

(Ich wundere mich etwas über die Frage, weil du hier auch Fragen über Kompaktheit in der Topologie reingestellt hast. Die Grundlagen von Mengen und Abbildungen muss man zuvor gemeistert haben.)



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-14


Hallo Triceratoos,

okay alles klar, wenn ich zuhause bin versuche ich einen präzisen Beweis!

Im Forster (Analysis 1) waren die Grundlagen über Mengen & Abbildungen nicht sehr ausführlich, aber die meisten Sachen im Kapitel "Kompaktheit" sind mir nun klar geworden.

Aber stimmt: die Themen "Abbildungen", Bilder und Urbilder muss ich mir noch aneignen, wo es vielleicht etwas ausführlicher erläutert ist!


Viele Grüße,
X3nion



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-15


Soo nun zu meinem Versuch des formellen Beweises zu obigem Sätzchen:

Eine Abbildung f: X <math> \to </math> Y ist surjektiv genau dann, wenn f(X) = Y ist, d.h. ihr Bild gleich ganz Y ist.

Die Definition des Bildes lautet wie folgt:
Für eine Funktion f : X → Y  und eine Teilmenge M von X bezeichnet man die folgende Menge als das Bild von M unter f:

<math> f(M) := \{f (x) | x \in M\} </math>

Also <math> f(X) := \{f (x) | x \in X\} </math>

"=>"

Sei eine Abbildung f: X <math> \to </math> Y gegeben, welche surjektiv ist. Gemäß Definition existiert zu jedem <math> y \in Y </math> (mindestens) ein <math> x \in X </math> mit f(x) = y.

Zu zeigen: <math> f(X) \subset Y </math> und <math> Y \subset f(X) </math>.

a) Sei <math> y \in Y </math>. Laut Voraussetzung existiert zu jedem <math> y \in Y </math> (mindestens) ein <math> x \in X </math> mit f(x) = y. Daraus folgt <math> y \in \{f (x) | x \in X\} </math>.

b) Gelte nun <math> y \in \{f (x) | x \in X\} </math>.
Da die Menge so definiert ist, dass zu jedem <math> y \in \{f (x) | x \in X\} </math> ein <math> x \in X </math> existiert mit f(x) = y, folgt, dass auch <math> y \in Y </math> ist.


"<=" Sei die Abbildung <math> f: X \to Y </math> gegeben und gelte f(X) = Y.
Gemäß Definition ist f(X) := <math> \{f(x) : x \in X\} </math>.
Sei nun <math> y \in Y </math> <=> <math> y \in \{f(x) : x \in X \} </math>
Daraus folgt nun, dass zu jedem <math> y \in Y </math> ein <math> x \in X </math> existiert mit f(x) = y.


Wäre das soweit korrekt? smile

Viele Grüße,
X3nion



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-09-15


Ja. Erkennst du, dass das eigentlich eine Trivialität ist?



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-15


Hallo Triceratops,

ja es folgt eigentlich direkt daraus, jetzt im Nachhinein betrachtet smile


Viele Grüße,
X3nion



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X3nion hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
X3nion hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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