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Analysis » Funktionalanalysis » Fundamentalsatz der Analysis für Bochner-Integration und Nemytskii-Operatoren
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Universität/Hochschule Fundamentalsatz der Analysis für Bochner-Integration und Nemytskii-Operatoren
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-14 10:55


Hallo zusammen,

ich versuche gerade einen Schritt nachzuvollziehen. Zunächst das Setting:

Sei <math>f(x,y): \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> hinreichend glatt - ich möchte das nicht genauer spezifizieren, ist auch nicht wichtig. Weiter sei <math>n \leq 3</math>. Bezeichne <math>f'</math> die partielle Ableitung nach <math>y</math>. Weiter unterdrücke ich meistens das erste Argument von <math>f</math>.


Weiter seien <math>x,y \in L^\infty(\Omega)</math> und <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> mit <math>n \leq 3</math> ein beschränktes Gebiet.

Nun wird behauptet, dass folgendes gilt

<math>f(y) - f(x) = \int\limits_0^1 f'(x + s(y-x)) dx (y-x)</math>


Okay soweit so gut. Ich wollte das nun nachrechnen. Zunächst haben wir den Fundamentalsatz der Analysis für Bochner-Integration:

Sei <math>-\infty < a < b < \infty</math> und <math>g \in C^1( [a,b]; X )</math>, wobei X ein Banachraum ist. Dann gilt
<math>g(t) - g(s) = \int\limits_s^t g'(u) du</math>


Ich versuche also nun diesen Satz anzuwenden. Hierzu definiere ich mir zunächst die Abbildung
<math>E: [0,1] \to L^\infty(\Omega), s \mapsto x + s(y-x)</math>
und den Nemytskii-Operator
<math>\Phi: L^\infty(\Omega) \to L^\infty(\Omega), y \mapsto f(\cdot, y(\cdot))</math>
wobei wir annehmen, dass <math>f</math> glatt genug ist, dass diese Abbildung wohldefiniert ist.

Unter gewissen Annahmen ist <math>\Phi</math> differenzierbar und man erhält
<math>(\Phi'(y)h)(x) = f'(x,y(x))h(x)</math>
fast überall in <math>\Omega</math> und für alle <math>h \in L^\infty(\Omega)</math>.

Nun definiere ich mir den Operator
<math>T: [0,1] \to L^\infty(\Omega), s\mapsto \Phi(E(s))</math>
Hiervon möchte ich nun gerne die Ableitung bestimmen. Hierdran hänge ich nun ein bisschen. Formell ist die Ableitung einfach
<math>T'(s) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h}( T(s+h) - T(s) )</math>
Wenn ich allerdings (naiv) Kettenregel anwende erhalte ich
<math>T'(s) = f'(\cdot, E(s)) E'(s) = f'(\cdot, x + s(y-x)) (y-x)</math>
was mir genau die Aussage liefern würde die ich benötige. (Ich wende nun obigen Fundamentalsatz auf <math>T</math> an).

Nur ist mir nicht ganz klar, ob das überhaupt mit den entsprechenden Räumen zusammenpasst. Kurz gesagt: Was ist die Ableitung von <math>T</math> und ist mein Ansatz richtig?

Vielen Dank für alle Tipps und Hinweise


-----------------
Zitat: "Es gibt einen Beweis aus der Physik: Er ist kurz, er ist elegant... und falsch"



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