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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Zwischenkörperverband für Erweiterung endlicher Körper bestimmen
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Universität/Hochschule J Zwischenkörperverband für Erweiterung endlicher Körper bestimmen
Katha95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-20


Hallo, ich bereite mich momentan auf eine Algebra-Klausur vor und brauche Hilfe bei dieser Aufgabe.




Was mir dazu  einfallen würde, wäre die Teiler von 1050, die 7 enthalten, aufzuschreiben:
{7,150,14,21,50,35,30,42,25,70,15,10,105..}

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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-20


Die Teiler von <math>1050</math> kann man systematisch bestimmen, indem man die Primfaktorzerlegung verwendet:

<math>1050 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7</math>
 
Die Teiler haben demnach die Form

<math>2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d,</math>
 
wobei <math>a,b,d \in \{0,1\}</math> und <math>c \in \{0,1,2\}</math>. Diejenigen Teiler, die von <math>7</math> geteilt werden, erfüllen zudem <math>d=1</math>. Es bleiben dann nur noch <math>12</math> Teiler übrig.

Man soll hier allerdings nicht nur die Zwischenkörper hinschreiben, sondern auch den Verband, also die Inklusionsbeziehungen graphisch veranschaulichen. Schau mal unter dem Begriff Hasse-Diagramm.

Es gilt <math>[\mathds{F}_{p^n} : \mathds{F}_{p^m}] = n/m</math> für <math>m \mid n</math>.



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Katha95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-20


Vielen Dank, die Vorgehensweise macht es natürlich viel einfacher und logischer!

Also ich habe als Teiler außer 7 und 1050 selbst folgende Zahlen:
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Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-09-20


Ich würde die Teiler in ihrer PFZ belassen, denn so erkennt man die Teilerbeziehungen zwischen ihnen sehr gut.

Das Hasse-Diagramm sieht so aus:

<math>\begin{tikzcd}[nodes={inner sep=2pt}, row sep=8ex, column sep=5ex]
&  & \mathds{F}_{2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7} & & \\
& \mathds{F}_{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} \ar[-]{ur} & \mathds{F}_{2 \cdot 5^2 \cdot 7} \ar[-]{u} && \mathds{F}_{3 \cdot 5^2 \cdot 7} \ar[-]{ull} \\
\mathds{F}_{2 \cdot 3 \cdot 7} \ar[-]{ur}  & \mathds{F}_{2 \cdot 5 \cdot 7} \ar[-]{u} \ar[-]{ur} && \mathds{F}_{3 \cdot 5 \cdot 7} \ar[-]{ull}  \ar[-]{ur} & \mathds{F}_{5^2 \cdot 7} \ar[-]{u} \ar[-]{ull} \\
\mathds{F}_{2 \cdot 7} \ar[-]{ur} \ar[-]{u} & & \mathds{F}_{3 \cdot 7} \ar[-]{ur} \ar[-]{ull}  & \mathds{F}_{5 \cdot 7} \ar[-]{u} \ar[-]{ur} \ar[-]{ull} & \\
&& \mathds{F}_{7} \ar[-]{ull} \ar[-]{u} \ar[-]{ur} & &
\end{tikzcd}</math>



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Katha95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-20


Du hast recht, das macht es sehr viel einfacher, danke dir!
Bis auf eine Inklusion, die ich vergessen habe, stimmt mein Hasse Diagramm mit deinem überein. Und die Erweiterungsgrade sind alle logischerweise 2, 3 bzw. 5



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