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Physik » Thermodynamik & Statistische Physik » Wärmeleitungsgleichung
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Universität/Hochschule J Wärmeleitungsgleichung
Sito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-20


Guten Tag zusammen.

Ich habe folgende Aufgabe erhalten um den Stoff aus dem letzten Semester etwas zu wiederholen. Dabei geht es um die "heat equation", wobei das Ziel wohl das üben mit dem Umgang von Fourier-Reihen ist. Da ich leider nur sehr wenig Erfahrung mit dem Thema habe bin ich auch sogleich ins stocken geraten.

Gegeben sei also <math>\displaystyle\frac{\partial T(x,t)}{\partial t} = \lambda \frac{\partial^2T(x,t)}{\partial x^2}</math>, wobei <math>x</math> die Position angibt und <math>t</math> die Zeit (eindimensionales Problem), <math>\lambda \in \mathbb{R}</math>.

- Ang. es existiert eine Lösung der Form <math>T(x,t)=X(x)\cdot U(t)</math>. Stellen sie die Differentialgleichungen auf und lösen sie diese.

- Wie ändern sich <math>X(x)</math> und <math>U(t)</math> im Fall von: Länge des zu betrachtenden Stücks sei <math>L</math> und <math>T(0,t)=T(L,t)=0\rm{K}</math>. Zeigen sie, dass in diesem Fall <math>T(x,t)=\sum\limits_n K_n e^{-\frac{n^2\pi^2\lambda}{L^2}t}\sin(\frac{n\pi x}{L})</math>, mit <math>K_n</math> Konstanten.

- Ang. bei <math>t=0</math> gilt <math>T(x,0)=f(x)</math>. Benutzen sie die Deffinition einer orthogonalen Menge von Funktionen um die Koeffizienten <math>K_n</math> als Funktion von <math>f(x)</math> zu bestimmen.

Was die erste Teilaufgabe angeht habe ich bis jetzt den entsprechenden Ausdruck in die Gleichung eingesetzt und erhalte dann:
<math>\displaystyle\frac{\partial T(x,t)}{\partial t} = \lambda \frac{\partial^2T(x,t)}{\partial x^2} \Leftrightarrow X(x)\frac{\partial U(t)}{\partial t} = \lambda \frac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2} U(t)</math>.
Leider weiss ich nicht wie man so eine DGL löst, bzw. mir fällt nicht mal wirklich ein Ansatz an.

Bei den anderen beiden Aufgaben sieht es noch schlechter aus, da habe ich wirklich überhaupt keine Ahnung was man von mir verlangt. Wichtig ist vlt. noch, dass ich wirklich nicht viel Erfahrung im Umgang mit Fourier-Reihen habe (was bedeutet ich dazu mal 10 min in der Vorlesung gehört)...

Wäre um etwas Hilfe wirklich froh.

Gruss Sito



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-20


Hallo,

<math>\displaystyle X(x)\frac{\partial U(t)}{\partial t} = \lambda \frac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2} U(t)</math> sieht doch schon mal gar nicht schlecht aus. Nun versuche die Gleichung so umzustellen, dass auf der linken Seite nichts mehr mit der Funktion <math>X</math> steht und auf der rechten Seite nichts mehr mit der Funktion <math>U</math> steht. Danach sehen wir weiter. Du darfst vorübergehend annehmen, dass <math>T(x,t)=X(x)\cdot U(t)\neq 0</math> für alle relvanten <math>x,t</math> gilt.

Ist die Funktion <math>f</math>, die in 3.) erwähnt wird, explizit gegeben?



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-09-20


Hallo Sito,

zum ersten Teil: Trenne die Variablen. Bringe also alles, was von x abhängt auf eine Seite und alles, was von t abhängt auf die andere. Fällt dir etwas auf?

zum zweiten Teil: passe die Lösung vom ersten teil an die Randbedingungen an.

lg Wladimir

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Sito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-20


Vielen Dank für die schnellen Antworten!

Wenn ich die Gleichung umstelle erhalte ich: <math>\displaystyle \frac{1}{U(t)}\frac{\partial U(t)}{\partial t} = \frac{\lambda}{X(x)} \frac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2}</math>.

2017-09-20 14:10 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
Ist die Funktion <math>f</math>, die in 3.) erwähnt wird, explizit gegeben?
Ich sehe auf dem Aufgabenblatt keine explizit angegebene Form für <math>f(x)</math>. Sollte diese Funktion eine gewisse Form haben?


2017-09-20 14:17 - wladimir_1989 in Beitrag No. 2 schreibt:
Fällt dir etwas auf?
Leider nicht... Es erinnert mich zwar an Separation der Variablen, aber das scheint hier doch anders zu sein als wir das bisher gebraucht haben (DGL erster Ordnung).



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-09-20


Hallo,

die Gleichung muss ja für alle t und alle x gelten. Andererseits hängt die linke Seite nicht von x ab und die rechte nicht von t. Die Gleichung kann also nur gelten, wenn beide Seiten der Gleichung gleich einer Konstante sind und zwar natürlich ein und derselben Konstante. Das gibt dir zwei DGLs für U(t) und X(x).

Zu 3) Setze f(x) in die Lösung 2) für t=0 ein und benutze, multipliziere mit <math>\sin\left(\frac{m\pix}{L}\right)</math> auf beiden Seiten und benutze die Orthogonalität der Sinus-Funktionen. Ich glaube nicht, dass es bei 3) auf eine spezielle Form von f(x) ankommt. Es sollte vermutlich nur stetig sein.


lg Wladimir



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-09-20


2017-09-20 14:28 - Sito in Beitrag No. 3 schreibt:
Wenn ich die Gleichung umstelle erhalte ich: <math>\displaystyle \frac{1}{U(t)}\frac{\partial U(t)}{\partial t} = \frac{\lambda}{X(x)} \frac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2}</math>.

Genau :) Nun kann die linke Seite nicht von <math>x</math> abhängen und die rechte Seite nicht von <math>t</math> abhängen. Da beide Seiten aber gleich sind, können sie weder von <math>x</math> noch von <math>t</math> abhängen. Sie sind also konstant. Nennen wir die Konstante mal <math>\mu</math>, so erhälst du zwei gewöhnlich Differentialgleichungen, welche?


2017-09-20 14:17 - wladimir_1989 in Beitrag No. 2 schreibt:
Fällt dir etwas auf?
Leider nicht... Es erinnert mich zwar an Separation der Variablen, aber das scheint hier doch anders zu sein als wir das bisher gebraucht haben (DGL erster Ordnung).
Ja, eine der beiden ist erster Ordnung und die andere zweiter Ordnung. Beide sind sie linear und homogen :)


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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Sito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-20


2017-09-20 14:45 - ochen in Beitrag No. 5 schreibt:
Da beide Seiten aber gleich sind, können sie weder von <math>x</math> noch von <math>t</math> abhängen. Sie sind also konstant.
Daran habe ich wirklich nicht mehr gedacht, danke euch beiden!

Die DGL's & Lösungen die dann entstehen sind:
<math>\displaystyle\frac{\partial U(t)}{\partial t} = \mu U(t) \Rightarrow U(t) = De^{\mu t}</math>
<math>\displaystyle\frac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2}=\frac{\mu}{\lambda}X(x) \Rightarrow X(x)=Ae^{\sqrt{\frac{\mu}{\lambda}}x}+Be^{-\sqrt{\frac{\mu}{\lambda}}x}</math>

Stimmt das so?

Edit:
Kurze Frage: Wie genau kann ich mir <math>X</math> und <math>U</math> vorstellen? Problem ist, dass ich die Anfangsbedingungen verwenden will um von der allgemeinen Form wegzukommen. <math>T(0,t)=0</math> ist für alle <math>t</math> macht für <math>U(t)</math> keinen Sinn, ausser <math>D=C=0</math>, was nicht besonder sinnvoll aussieht. Daher kann ich aus <math>X(x)=0</math> folgern, dass <math>A=-B</math> gelten muss, oder? Aber inwiefern hilf es mir zu wissen, dass die Länge des Stücks <math>L</math> ist? Wenn ich das in <math>X(x)</math> einsetze kann ich daraus irgendwie nicht wirklich etwas gewinnen, da ich nicht weiss was <math>X(L)</math> genau ist, bzw. erhalte ich dann <math>X(L)=A</math>, was ja nicht wirklich sinnvoll ist oder?
Wie ich die Koeffizienten von <math>U</math> bestimme ist mir leider auch nicht wirklich klar... Ich kenne ja nicht den Zustand zum Anfanzeitpunkt, oder ähnliches..



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-09-20


Hallo,

die Lösungen sind im Prinzip richtig. Nur ein Paar Kommentare: 1) Die Gleichung für U(t) ist eine DGL erster Ordnung. Man bekommt also nur eine Integrationskonstante (D bei dir). Angesichts der Lösungsform in 2) würde ich die Lösung für X(x) nicht mit Exponentialfunktionen, sondern mit Sinus und Kosinus schreiben. Überlege dir, was dies für dein <math>\mu</math> bedeutet.

lg Wladimir



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Sito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-20


Vielen Dank für den Hinweis zur ersten DGL, habs oben schon mal korrigiert!

2017-09-20 15:32 - wladimir_1989 in Beitrag No. 7 schreibt:
 Angesichts der Lösungsform in 2) würde ich die Lösung für X(x) nicht mit Exponentialfunktionen, sondern mit Sinus und Kosinus schreiben. Überlege dir, was dies für dein <math>\mu</math> bedeutet.
Das verwirrt mich doch etwas. Also du sagt ich soll das ganze mit Sinus und Cosinus schreiben, dafür müsste ich die Exponentialform in die Form <math>e^{i\varphi}</math> bringen. Die einzige Möglichkeit die mir dafür einfällt ist, dass <math>\sqrt{\frac{\mu}{\lambda}}=\sqrt{\frac{|\mu|}{\lambda}}i</math>, und dann zu sagen <math>\varphi = \sqrt{\frac{|\mu|}{\lambda}}x</math>. Daraus würde dann ja folgen, dass <math>\mu < 0</math> gilt (unter der Voraussetzung, dass <math>\lambda >0</math> ist).

Das würde dann so aussehen:<math>\displaystyle X(x)=Ae^{\sqrt{\frac{\mu}{\lambda}}x}+Be^{-\sqrt{\frac{\mu}{\lambda}}x} = Ae^{\sqrt{\frac{|\mu|}{\lambda}}x\cdot i}+Be^{-\sqrt{\frac{|\mu|}{\lambda}}x \cdot i} = (A+B)cos\left(\sqrt{\frac{|\mu|}{\lambda}}x\right) + (A-B)i\sin\left(\sqrt{\frac{|\mu|}{\lambda}}x\right)</math>.

Hast du das gemeint mit Umschreiben? Ich erhalte mit dieser Variante wiederum <math>A=-B</math>. Wie es danach weiter geht ist mir leider immer noch nicht wirklich klar.



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-09-20


Hallo,

ja so war das gemeint. Die Bedingung <math>A=-B</math> kommt bereits aus der ersten Randbedingung <math>T(0,t)=0</math>. Jetzt kann man die zweite Randbedingung <math>T(L,t)=0</math> verwenden, um <math>|\mu|</math> zu bestimmen. Die restliche Konstante <math>2Ai</math> kann man zu <math>K_1</math> zusammenfassen.

lg Wladimir



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Sito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-20


2017-09-20 16:32 - wladimir_1989 in Beitrag No. 9 schreibt:
Jetzt kann man die zweite Randbedingung <math>T(L,t)=0</math> verwenden, um <math>|\mu|</math> zu bestimmen.
Ich erhalte für <math>|\mu| = \frac{\pi^2}{L^2}\lambda</math>, was dann zu <math>U(t)=De^{-\frac{\pi^2}{L^2}\lambda t}</math> und <math>X(x)=K_1\sin(\frac{\pi}{L}x)</math>. Das <math>D</math> kann man also mit den gegebenen Anfangsbedingungen nicht genauer beschreiben, oder?

Nun soll man ja zeigen, dass <math>T(x,t) = \sum\limits_n K_n e^{-\frac{n^2\pi^2\lambda}{L^2}t}\sin(\frac{n\pi x}{L})</math>. Wie gesagt, ich weiss nicht so genau wie das funktionieren soll, aber ich würde mal damit beginnen die beiden Funktionen von oben einmal miteinander zu multiplizieren: <math>T(x,t) = De^{-\frac{\pi^2}{L^2}\lambda t}\cdot K_1\sin(\frac{\pi}{L}x)=(DK_1)e^{-\frac{\pi^2}{L^2}\lambda t}\sin(\frac{\pi}{L}x)</math>.

Das sieht ja dem oben schon mal recht ähnlich, weiter weiss ich dann aber leider auch nicht...



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-09-20 22:14


Hallo,

dein <math>|\mu|</math> ist richtig. Diese Lösung entspricht nun dem ersten Summanden in der Fourier-Reihe. Da die Wärmeleitungsgleichung linear ist, erhält man jede Lösung der Gleichung als Linearkombination der linear unabhängigen Lösungen. Man erkennt, dass man <math>|\mu|</math> mit dem Quadrat jeder ganzen Zahl <math>n</math> multiplizieren kann und damit wieder eine Lösung erhält, die ebenfalls die Randbedingungen erfüllt und linear unabhängig von anderen Lösungen ist. Die gesamte Lösung ist dann eine Linearkombination aller Fundamentallösungen, mit den Koeffizienten <math>K_n</math>. Man sollte dabei natürlich <math>K_1</math> umbenennen, so dass <math>DK_1</math> zu neuem <math>K_1</math> wird. Im Unterschied zu einer gewöhnlichen DGL zweiter Ordnung, wo man zwei bekannte Rand- oder Anfangswerte braucht, um die Funktion festzulegen, benötigt man bei einer partiellen Funktion eine ganze Funktion als Randwert, um die Lösung vollständig zu bestimmen, also die Koeffizienten <math>K_n</math> zu berechnen, was im 3) Teil passiert.

lg Wladimir



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-21 21:41


Vielen Dank für die Ausführungen.

Leider hatte ich heute keine Zeit um mich mit den Problemen, die ich gepostet habe (auch die aus dem anderen Thread), zu beschäftigen. Ich schaue mir das Ganze morgen nochmal in Ruhe an, falls ich auf Schwierigkeiten stosse melde ich mich noch einmal!



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Sito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-22 19:59


So ich hatte endlich wieder etwas Zeit mich mit dem Problem auseinanderzusetzen.

Zweitens habe ich soweit verstanden, auch wo das <math>n</math> herkommt ist soweit klar, von daher nochmals ein Danke an dich!

2017-09-20 14:44 - wladimir_1989 in Beitrag No. 4 schreibt:
Zu 3) Setze f(x) in die Lösung 2) für t=0 ein und benutze, multipliziere mit <math>\sin\left(\frac{m\pix}{L}\right)</math> auf beiden Seiten und benutze die Orthogonalität der Sinus-Funktionen. Ich glaube nicht, dass es bei 3) auf eine spezielle Form von f(x) ankommt.
Tut mir Leid, aber hier kann ich dir überhaupt nicht folgen... Wo soll ich genau <math>f(x)</math> einsetzen?
Der Assistent meinte noch etwas von <math>\int_{t_1}^{t_2}\phi_l(t)\cdot \phi^*(t){\rm{d}}t = E_k\delta_{lk}</math>, wobei <math>\phi(t)=\sin([m\pi x]/L)</math> sein soll. Ich nehme an, dass das eine Alternative zu dem von dir vorgeschlagenen Sinus ist.

Ist die Idee hier <math>K_n = \int_{x_1}^{x_2}T(x,0)\sin([n\pi x]/L){\rm{d}}x</math> zu berechnen?



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2017-09-23 20:15


Hallo,
sorry, dass es ein wenig gedauert hat. Der Ansatz von deinem Assistenten entspricht dem, was ich vorgeschlagen habe. Die Idee ist es, die Orthogonalität der Sinusfunktionen, die durch die Gleichung <math>\int_0^{L}\sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\text{d}x=E_n\delta_{nm}</math> ausgedrückt ist und damit die Gleichung
<math>f(x)=T(x,0)=\sum_mK_m\sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)</math> quasi nach <math>K_n</math> aufzulösen. Dazu multiplizieren wir diese Gleichung auf beiden Seiten mit <math>\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)</math>, wobei n eine feste Zahl ist und integrieren beide Seiten der Gleichung von 0 bis L. Damit erhalten wir
<math>\int_0^Lf(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\text{d}x=K_{n}E_n</math>. Die Normierungskonstante <math>E_n</math> lässt sich dabei leicht berechnen.

lg Wladimir



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-24 12:31


Vielen Dank, ich glaube der Groschen ist endlich gefallen! Jetzt verstehe ich auch wieso ochen wissen wollte ob <math>f(x)</math> explizit gegeben ist...



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Sito hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sito hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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