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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Wie viele Körper?
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Kein bestimmter Bereich Wie viele Körper?
Goswin
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.09.2008
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Aus: Chile, Ulm
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-25


Gibt es (von Isomorfismen abgesehen) überabzählbar viele Körper oder nur abzählbar viele?
 
(Ich als neugieriger Nicht-Algebraiker darf hoffentlich diese Frage stellen)



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BerndLiefert
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.10.2014
Mitteilungen: 261
Aus: Lehramtplanet
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-25


Es sollte zu jeder unendlichen Kardinalzahl einen Körper geben.

Nimm die rationalen Zahlen und adjungiere eine entsprechende Anzahl transzendenter Elemente.



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Goswin
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.09.2008
Mitteilungen: 1137
Aus: Chile, Ulm
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-25


Danke, Bernd!  So einfach ist das also!


2017-09-25 12:15 - BerndLiefert in Beitrag No. 1 schreibt:
Nimm die rationalen Zahlen und adjungiere eine entsprechende Anzahl transzendenter Elemente.
Ich lass das wohl lieber bleiben, es dauert mir doch etwas zu lange! biggrin



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3192
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-09-25


Zur Sicherheit: Der Satz in Beitrag No. 1 ist so zu verstehen: Zu jeder unendlichen Kardinalzahl <math>\kappa</math> gibt es einen Körper mit <math>\kappa</math> vielen Elementen. Nämlich <math>\mathds{Q}((X_{\alpha})_{\alpha<\kappa})</math>. Insbesondere gibt es überabzählbar viele nicht-isomorphe Körper, weil es überabzählbar viele Kardinalzahlen gibt.
 
Man kann die Frage etwas spannender machen, wenn man die Körper näher spezifiziert. Zum Beispiel: Gibt es bis auf Isomorphie überabzählbar viele algebraische Erweiterungen von <math>\mathds{Q}</math>? (Ich denke Ja.)



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TomTom314
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Dabei seit: 12.05.2017
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-09-25


2017-09-25 15:07 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
Man kann die Frage etwas spannender machen, wenn man die Körper näher spezifiziert. Zum Beispiel: Gibt es bis auf Isomorphie überabzählbar viele algebraische Erweiterungen von <math>\mathds{Q}</math>? (Ich denke Ja.)

Mit einer Aufzählung der Primzahlen <math>p_i; i\in \IN</math> und allen Teilmengen <math>I\subset\IN</math> sollten die Körpern <math>\IQ((\sqrt{p_i})_{i\in I})</math> paarweise verschieden sein.



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3192
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-09-25


Ja, sie sind sogar paarweise nicht-isomorph (und darum geht es hier).



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TomTom314
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 511
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-09-25


Das sollte natürlich "paarweise nicht isomorph" heißen. Deswegen habe ich ja gerade die quadratischen Wurzeln der Primzahlen gewählt. wink



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Goswin hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Goswin hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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