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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Polynome » K[x]=K(x)
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Autor
Universität/Hochschule J K[x]=K(x)
Lebowski
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-26


Hallo zusammen,

ich lerne für eine Prüfung mit Hilfe von Protokollen aus der Fachschaft und eine Aufgabe lautet:

Beweis: K[a]=K(a)

K[a] bezeichnet einen Polynomring, also die Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus K.
K(a) bezeichnet den Quotientenkörper des Polynomrings.

Wann sind diese nun gleich? Und was genau heißt das überhaupt? Welche Voraussetzungen müssen gelten? Wie beweist man das?

Danke für eure Hilfe!



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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-26


Hi,

vervollständige doch bitte die Angaben. Ist <math>a\in L</math>, wobei <math>L/K</math> eine Körpererweiterung ist?



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-09-26


Hi. Kannst du bitte die Aufgabe im Originalwortlaut wiedergeben.
So wie es hier steht ist es falsch, denn ein Polynomring in einer Variablen <math>A[X]</math> ist niemals ein Koerper, selbst dann nicht, wenn <math>A</math> ein Koerper ist, denn <math>X</math> hat kein Inverses.

Wahrscheinlich sollst du beweisen, dass wenn <math>a</math> ein Element aus einem Erweiterungskoerper von <math>k</math> ist, welches bestimmten Bedingungen genuegt, dann <math>k[a]</math> bereits ein Koerper ist.

lg Daniel

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Lebowski
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-26


Das ist ja das Problem...im Protokoll steht im Wortlaut:
Beweis: K[a]=K(a).


Wahrscheinlich ist es so, wie ihr sagt, dass
fed-Code einblenden


In meinem Skript habe ich folgendes gefunden:
 
fed-Code einblenden

Ist dieser Satz gemeint? Leider ist kein Beweis dazu angegeben...



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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-09-26


Dann handelt es sich vermutlich um ein Gedächtnisprotokoll eines anderen Studenten.

Und ja, (genau dann) wenn a algebraisch ist, gilt die Gleichheit. Versuche dich selbst mal bei dem kurzen Beweis, in dem du zunächst die Voraussetzungen sauber aufschreibst.



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-09-26


Ich will nur kurz nachhaken:
 
Ist dir der Unterschied von <math>k[X]</math> und <math>k[a]</math> bewusst? Dein erster Beitrag laesst naemlich darauf schliessen, dass dies nicht der Fall ist.

lg Daniel



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Lebowski
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-27


xiao_shi_tou_ Danke der Nachfrage! Ich glaube, das ist mir nicht klar....

Also kurz zusammengefasst:
K[X] = Polynomring über K
K(X) = Quotientenkörper des Rings
K[a] =
K(a) = einfache Körpererweiterung mit primitivem Element a

Tatsächlich weiß ich nicht genau, was K[a] ist und finde es auch nicht in meinem Skript...



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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-09-27


2017-09-27 09:48 - Lebowski in Beitrag No. 6 schreibt:
Tatsächlich weiß ich nicht genau, was K[a] ist und finde es auch nicht in meinem Skript...

K[a] ist der kleinste Teilring von L, der <math>K\cup\{a\}</math> enthält.



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Lebowski
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-27


Okay, ich versuche mich mal an den Voraussetzungen:

- Wir haben die einfache Körpererweiterung K(a), das heißt, L=K(a) ist der kleinste Erweiterungskörper, der a enthält.
- Weiterhin soll a algebraisch sein bzw. somit ja auch die Körpererweiterung soll algebraisch sein, das heißt alle Elemente von L/K sind algebraisch. Und ein Element heißt algebraisch, wenn a Nullstelle eines Polynoms aus K[x]\{0} ist.
- Dann haben wir noch K[a], der kleinste Teilring von L, der K und {a} enthält.

Und jetzt ? :D



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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-09-27


2017-09-27 12:04 - Lebowski in Beitrag No. 8 schreibt:
Und jetzt ? :D

Jetzt musst du dir überlegen, was genau zu zeigen ist.
Tipp: Die Verknüpfungen in beiden Strukturen sind identisch, also genügt es, wenn man sich auf die Mengen beschränkt.



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Lebowski
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-28


Hab die ganze Zeit nachgedacht, aber ich komm nicht drauf :(



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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-09-28


Gleichheit von Mengen zeigt man mit Inklusionen. Eine ist hier trivial, für die andere eignen sich Minimalpolynome.



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Lebowski
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-03


Tja irgendwie hilft mir der Tipp nicht so richtig. Ich hab nochmal alles mögliche durchgelesen und vielleicht ist meine Idee ja in Teilen auch okay:

Also Aussage:
fed-Code einblenden



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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2017-10-03


Du möchtest <math>K[a]=K(a)</math> zeigen. Dabei ist <math>\subseteq</math> trivial, da der kleinste Körper, der <math>K\cup\{a\}</math> enthält, ein Ring ist und damit natürlich auch den kleinsten Ring enthält, der <math>K\cup\{a\}</math> enthält. Zu <math>\supseteq</math>: Zeige, dass <math>K[a]</math> ein Körper ist. Dann bist du fertig. Wann genau ist ein Ring denn ein Körper?



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2017-10-03


2017-10-03 09:30 - Lebowski in Beitrag No. 12 schreibt:
Tja irgendwie hilft mir der Tipp nicht so richtig. Ich hab nochmal alles mögliche durchgelesen und vielleicht ist meine Idee ja in Teilen auch okay:

Also Aussage:
fed-Code einblenden

Ja, damit kann man etwas anfangen, denn es gilt: <math>k[X]/(p)=k[\alpha]</math> und <math>p</math> irreduzibel <math>\iff</math> <math>k[X]/(p)</math> Koerper.




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Lebowski
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-04


Ist vielleicht eine seltsame Bitte, aber könntest du den Beweis in Worte fassen? Nur um Sicherzugehen, dass ich die ganzen Sachen nicht doch durcheinandergebracht habe  smile



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2017-10-04


Was genau verstehst du nicht?



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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2017-10-04


Zur Klarstellung: Du kannst es so wie in Beitrag 14 machen.
Ich war nach deiner Bemerkung in Beitrag 3 davon ausgegangen, dass du nicht verstehst, was die Isomorphie bedeutet und wie sie zustande kommt. Daher wollte ich dir den Beweis zu Fuß vorschlagen. Dazu fehlt nur noch, dass man die Körpereigenschaften von <math>K[a]</math> überprüft, die sich letzten Endes darauf reduzieren, dass man Inverse braucht. Die kann man aber direkt aus den Algeraizitätsgleichungen konstruieren.



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