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Differentialgleichungen » Partielle DGL » Partielle Differentialgleichung mit Randbedingung lösen
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Universität/Hochschule Partielle Differentialgleichung mit Randbedingung lösen
nordstern
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-02 11:59


Hallo zusammen!

Ich habe hier folgende PDE
<math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial u}{\partial t}</math>
separiert zu
<math>\frac{1}{X}\ddot X=\frac{1}{T} \dot T= const. =:k</math>
Dann habe ich die ODEs gelöst zu
<math>X(x)=c_1 e^{\sqrt{k}x}+c_2 e^{-\sqrt{k}x},\\
T(t)=c_3 e^{kt}</math>.

Zudem habe ich die Randbedingungen <math>u(0,t)=u(\pi,t)=0</math>.
Leider komme ich damit aber nicht weiter, da ich die Konstanten damit nicht eindeutig bestimmen kann. Ich habe ja auch nur 2 Gleichungen für 3 Unbekannte. Könnt ihr mir bitte helfen?

Vielen Dank,
eure nordstern



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-02 21:48


Hallo nordstern,

nur mit Randbedingungen kommst du eben nur auf eine Lösung <math>\displaystyle u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} K_n e^{-n^2 t}\sin(nx) </math>. Um die Koeffizienten zu bestimmen, bräuchten wir nun noch eine Anfangsbedingung. Ein Anfang wäre es wohl die Lösung für <math>X(x)</math> nicht mit Exponentialfunktionen, sondern mit Sinus und Kosinus auszudrücken.

Gruß,

Küstenkind

edit: Tippfehler verbessert (siehe #9).



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nordstern
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-12 17:06


Das kenne ich eigentlich nur für die komplexe Exponentialfunktion.. welche Relation gibt es denn da im Reellen?
Mir ist auch nicht wirklich klar, woher ich weiß, bei welchen Arten von PDE man aus welchen Gründen einen Sinus/Cosinus/Sinh/Cosh oder sonstige Ansätze macht.

LG nordstern

edit: Ooh, also würde es mit sinh und cosh gehen? Ich probiere es mal...



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nordstern
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-12 17:41


Stelle ich die Lösung von X mit sinh und cosh dar, so komme ich am Ende mit den Randbedingungen darauf, dass beide Konstanten in X(x) verschwinden, aber das kann ja nicht sein.



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-10-12 21:05


Hallo nordstern,
2017-10-12 17:41 - nordstern in Beitrag No. 3 schreibt:
Stelle ich die Lösung von X mit sinh und cosh dar, so komme ich am Ende mit den Randbedingungen darauf, dass beide Konstanten in X(x) verschwinden, aber das kann ja nicht sein.
was schließt Du daraus für das Vorzeichen von k?

In diesem Fall braucht man keinen Ansatz, weil Du die beiden Differentialgleichungen für X(x) und T(t) gelöst hast. Aus dem Rand- (nicht Anfangs-) Bedingungen ergeben sich die möglichen Werte für k.

Servus,
Roland



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nordstern
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-12 21:42


Hallo rlk und vielen Dank! Ich komme auf folgendes Ergebnis.
<math>U(x,t)=X(x)T(t)=Ae^{-n^2\pi^2x}sin(n\pi t), A\in \mathbb{C}, n\in \mathbb{N}</math>
Kann das sein?



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rlk
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-10-12 21:58


Hallo nordstern,
die Lösung hat zwar eine gewisse Ähnlichkeit mit der richtigen, aber sie erfüllt die Randbedingungen nicht:
<math>U(0,t)</math> und <math>U(\pi,t)</math> sind im Allgemeinen ungleich Null. Wenn Du Deine Zwischenschritte und die dazugehörenden Überlegungen aufschreibst, können wir gemeinsam zur richtigen Lösung kommen.

Kannst Du bitte den Titel ausbessern (Rand- statt Anfangsbedingungen)?

Du hast nicht eine Lösung <math>U(x,t)</math>, sondern eine für jeden Wert von <math>n</math>. Weil die Differentialgleichung linear ist, wird ihre allgemeine Lösung durch eine Linearkombination der <math>U_n</math> beschrieben, wie Kuestenkind das in Beitrag 1 schon angedeutet hat.

Servus,
Roland



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nordstern
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-12 23:22


Hallo rlk,

Danke für deine Antwort. Ich kann leider den Titel nicht mehr bearbeiten, habe es aber im Eingangspost editiert.
Ich hatte
<math>X(x)=c_1e^{kx}\\
T(t)=c_2e^{i\sqrt{\abs{k}}t}+c_3e^{-i\sqrt{\abs{k}}t}\\
=(c_2+c_3)cos(\sqrt{\abs{k}}t)+(c_2-c_3)i\cdot sin(\sqrt{\abs{k}}t).\\
U(0,t)=c_1e^{0}((c_2+c_3)cos(\sqrt{\abs{k}}t)+(c_2-c_3)i\cdot sin(\sqrt{\abs{k}}t))
</math>
Damit das verschwindet, muss
<math>(c_2+c_3)=0, sin(\sqrt{\abs{k}}t)=0.</math>
Dann hinge aber k von t ab und k ist ja konstant. Stehe leider total auf dem Schlauch. confused

LG nordstern

edit: mir ist aufgefallen, dass ich dieselbe Aufgabe noch mal mit anderen Randwerten bearbeitet hatte, nämlich mit U(x,0)=U(x,1)=0.
Da habe ich das Ergebnis vom Post zuvor rausbekommen, entschuldigt bitte. Ob das nun stimmt oder nicht, wie ich bei den Randbedingungen für x vorgehe, ist mir aber trotzdem nicht klar.



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-10-12 23:35


Hallo nordstern,
Du hast <math>X(x)</math> und <math>T(t)</math> vertauscht. In
2017-10-02 11:59 - nordstern im Themenstart schreibt:
Dann habe ich die ODEs gelöst zu
<math>X(x)=c_1 e^{\sqrt{k}x}+c_2 e^{-\sqrt{k}x},\\
T(t)=c_3 e^{kt}</math>
war es noch richtig.

Servus,
Roland



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nordstern
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-13 00:06


Hallo Roland,

Oh, stimmt. Und ich wundere mich schon... eek
Nach einem neuen Versuch komme ich jetzt auf <math>k=-n^2</math>. Das entspricht auch dem, was im ersten Post geschrieben wurde.
Dann ist nämlich
<math>U(x,t)=Ae^{-n^2t}sin(nx)</math> bzw. nach dem Superpositionsprinzip
<math>U(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}A_ne^{-n^2t}sin(nx)</math>
Im ersten Beitrag taucht allerdings zwei mal x auf und kein t, das ist einfach ein Tippfehler, oder? Und die A_n drücken aus, dass beliebige Linearkombinationen der Lösungen auch Lösungen sind? Oder sind die Koeffizienten festgelegt durch Anfangsbedingungen?

LG nordstern



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-10-13 00:33


Hallo nordstern,
ja, so einfache Fehler sind oft am schwersten zu finden. smile

Du hast für jedes <math>n\in\IN_{>0}</math> eine Lösung

<math>\displaystyle U_n(x,t)=\exp(-n^2 t)\sin(n x)</math>

die allgemeine Lösung der Randwertaufgabe ist daher

<math>\displaystyle u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty K_n\exp(-n^2 t)\sin(n x)</math>

Ja, das x im Exponenten in Beitrag 1 ist ein Tippfehler.

Wenn Du eine Anfangsbedingung <math>u(x,0)=u_0(x)</math> hinzufügst, kannst Du die Koeffizienten <math>K_n</math> aus der Fourier-Sinus-Entwicklung von <math>u_0</math> bestimmen.

Servus,
Roland



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nordstern
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-13 00:43


Vielen Dank für die Hilfe!

Jetzt schnalle ich auch, was es heißen soll eine PDE mit Fourier zu lösen -  langsam schließt sich der Kreis doch noch.

LG nordstern



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2017-10-13 15:35


2017-10-13 00:06 - nordstern in Beitrag No. 9 schreibt:
Im ersten Beitrag taucht allerdings zwei mal x auf und kein t, das ist einfach ein Tippfehler, oder?

Nein nein - ich habe dir lediglich nicht im ersten Beitrag die richtige Lösung genannt, um zu überprüfen, ob du auch noch mitdenkst. Du hast den Test somit erfolgreich bestanden!  razz

Viele Grüße (auch an Roland),

Küstenkind

PS: Ich habe den Tippfehler nun repariert.



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