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Physik » Mathematische Physik » Quellen- und Wirbelfreiheit
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Universität/Hochschule J Quellen- und Wirbelfreiheit
lissy1234567
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-06 10:51


Hallo,

Ich habe eine Frage zur quellen- und wirbelfreiheit:
Gilt F ist quellenfrei genau dann wenn divF = 0 und
F wirbelfrei genau dann wenn rotF = 0 oder gilt nur "eine Richtung" ?

Wäre für mich wichtig zu wissen,

danke, lissy :)



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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-06 11:19


Hi!

Quellen- und Wirbelfreiheit sind genau so definiert, wie du schreibst. Die Äquivalenzen sind dadurch trivial. Der Fall wichtigste Fall, wo zwei Aussagen tatsächlich aber mal nicht notwendigerweise äquivalent sind, lautet: Eine geschlossene Form ist nicht immer exakt, aber jede exakte Form ist geschlossen.
Im Vektorkalkül ausgedrückt bedeutet das: aus <math>\nabla\cdot\mathbf B=0</math> folgt nicht die Existenz eines Vektorpotentials A, sodass <math>\mathbf B = \nabla\times\mathbf A</math>. Allerdings ist das sehr wohl der Fall, wenn der Definitionsbereich von B sternförmig ist.
Oder auch: Aus <math>\nabla\times\mathbf E = 0</math> folgt <math>\mathbf E = \nabla\Phi</math> nur, wenn der Definitionsbereich von E sternförmig ist.



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lissy1234567
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-06 11:23


Vielen Dank, so hab ich es mir ja auch gedacht.

Jetzt aber eine andere Frage, die sich quasi anschließend aufdrängt: In einem Buch, mathematische Modellierung heißt es, werden bezüglich des elektrischen Feldes einige Eigenschaften von fed-Code einblenden
w(x) = (x-x_0) / abs(x-x_0)^3
fed-Code einblenden
besprochen. Es kommt raus, dass divw = rotw = 0 ist, das heißt w wäre quellen- und wirbelfrei. In einer anderen Quelle habe ich aber gelesen, dass dies nicht möglich ist.
w stellt übrigens einen Teil der Def. des elektrischen Feldes dar, also E(x) = k*q*w(x).

Wie kann ich mir das erklären?



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index_razor
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-06 14:41


2017-10-06 11:23 - lissy1234567 in Beitrag No. 2 schreibt:
In einem Buch, mathematische Modellierung heißt es, werden bezüglich des elektrischen Feldes einige Eigenschaften von fed-Code einblenden
w(x) = (x-x_0) / abs(x-x_0)^3
fed-Code einblenden
besprochen. Es kommt raus, dass divw = rotw = 0 ist, das heißt w wäre quellen- und wirbelfrei. In einer anderen Quelle habe ich aber gelesen, dass dies nicht möglich ist.

Was genau soll nicht möglich sein?  Daß <math>\nabla\cdot w =0</math> und <math>\nabla\times w=0</math>?  Das kannst du ja leicht prüfen, oder?  

Wenn dort etwas anderes behauptet wird, mußt du genauer zitieren, was du gelesen hast.  Ansonsten wird dazu niemand viel sagen können.



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lissy1234567
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-06 16:11


genau, also dass beides gilt, stimmt zwar laut Buch und wenn man es nachrechnet auch, aber da w ein Vektorfeld ist, dachte ich, dass es unmöglich ist, dass BEIDES gilt.
Ich mache mal einen Screenshot von w...



Vielleicht kann mir jetzt jemand besser helfen. Ich meine einfach, dass es keine VF's gilt, die sowohl quell- als auch wirbelfrei sind, was meiner Meinung nach ein Widerspruch ist :)


Vielen Dank schonmal !
lissy



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-10-06 16:39


2017-10-06 16:11 - lissy1234567 in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich meine einfach, dass es keine VF's gilt, die sowohl quell- als auch wirbelfrei sind, was meiner Meinung nach ein Widerspruch ist :)

Nimm irgendeinen Vektor <math>\bf v</math> und definiere damit das (konstante) Vektorfeld

    <math>\displaystyle {\bf x}\mapsto{\bf v}</math>  .

Dieses einfache Beispiel zeigt, dass ein Vektorfeld, das sowohl quell- als auch wirbelfrei ist, tatsächlich existiert.

Grüße
dromedar



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-10-06 18:07


Hallo
 das angegebene Feld ist das Feld einer Punktladung q an der Stelle x_o, natürlich ist das Feld ausser bei x_0 quellenfrei , und da rotationssymmetrisch auch wirbelfrei.
bis dann, lula


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Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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index_razor
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-10-06 21:07


2017-10-06 18:07 - lula in Beitrag No. 6 schreibt:
und da rotationssymmetrisch auch wirbelfrei.

Das hat doch nichts miteinander zu tun.  Das Feld

<math>E = R(r)dr + \Phi(r)d\phi + \Theta(r)d\theta</math>

ist rotationssymmetrisch, aber sofern nicht <math>\Phi</math> und <math>\Theta</math> konstant sind, nicht wirbelfrei.



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-10-07 00:24


Danke index_razor
Das war wirklich Unsinn. gemeint war wohl  radial
Gruß lula


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lissy1234567
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-09 10:14


Ahhhha!
danke an alle:)
das Beispiel von dromedar war übrigens sehr hilfreicht - ein extra danke an dich :)
Problem hat sich also gelöst



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lissy1234567
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-09 10:17


@lula
bist du dir sicher, dass das das Feld einer Ladung q an der Stelle x_0 ist?
Denn eigentlich gibt doch das definiert E(x) ein elektrisches Feld an, das von q_0 an x_0 erzeugt wurde?



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lissy1234567
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-09 11:24


Hilfe :(



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2017-10-09 12:52


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bis dann, lula


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lissy1234567
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-09 13:38


Nun, wenn E das wie im Text beschriebene von q_0 an der Stelle x_0 erzeugte Feld ist, was ist dann w(x)?

Edit:
Außerdem stellt sich die Frage, warum div(eE) ungleich 0 ist laut Gaußschem Gesetz, wenn doch div(E) für x ungleich x_0 null sein sollte...jetzt bin ich etwas verwirrt

Kann mir jemand vielleicht genau sagen, was mit div und rot von E ist und ebenso was w ist und warum (vielleicht kann man es sogar anschaulich erklären) div und rot von w null sind, obwohl div(E) nicht 0 ist?



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2017-10-09 16:47


Hallo
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bis dann, lula



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lissy1234567
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-09 17:03


Ach, super, danke smile

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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2017-10-10 00:51


Hallo
 wenn \epsilon ein Skalar und kein Tensor bzw Matrix ist,  ist div(\epsilon*E)=\epsilon*div(E)
Gruß lula



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2017-10-10 02:32


2017-10-06 11:19 - Tirpitz in Beitrag No. 1 schreibt:
Hi!

Quellen- und Wirbelfreiheit sind genau so definiert, wie du schreibst. Die Äquivalenzen sind dadurch trivial. Der Fall wichtigste Fall, wo zwei Aussagen tatsächlich aber mal nicht notwendigerweise äquivalent sind, lautet: Eine geschlossene Form ist nicht immer exakt, aber jede exakte Form ist geschlossen.
Im Vektorkalkül ausgedrückt bedeutet das: aus <math>\nabla\cdot\mathbf B=0</math> folgt nicht die Existenz eines Vektorpotentials A, sodass <math>\mathbf B = \nabla\times\mathbf A</math>. Allerdings ist das sehr wohl der Fall, wenn der Definitionsbereich von B sternförmig ist.
Oder auch: Aus <math>\nabla\times\mathbf E = 0</math> folgt <math>\mathbf E = \nabla\Phi</math> nur, wenn der Definitionsbereich von E sternförmig ist.

Hallo Tirpitz,
Eine Frage diesbzgl: Wenn ich eine Punktladung im Ursprung betrachte, dann muss ich den Punkt Null ja aus meinem Definitionsbereich herausnehmen, wodurch mein Gebiet aber nicht mehr sternförmig ist. Trotzdem kann ich das Feld im Außenbereich durch ein Gradientenfeld angeben. Liegt das daran, dass ich den Punkt nicht zwangsläufig zunächst als Punkt wählen kann sondern von einer endlichen Ladungsverteilung ausgehen kann oder wieso klappt das mit dem Gradientenfeld trotzdem?



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index_razor
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2017-10-10 08:08


Sternförmigkeit ist keine notwendige Bedingung, sondern nur hinreichend.  Für die Frage ob ein rotationsfreies Feld ein Gradientenfeld ist, reicht meines Wissens zu prüfen, daß der Definitionsbereich einfach zusammenhängend ist.  Es reicht also z.B. auch, daß alle geschlossenen Kurven stetig in Punkte verformbar sind.  Daraus folgt dann mit der Rotationsfreiheit <math>\nabla\times E</math> die Wegunabhängigkeit von

<math>\int E\ dr</math>

im wesentlichem aus dem Satz von Stokes und du kannst

<math>\phi(R) \stackrel{\rm def}{=} \int_r^R E\ dr</math>

von jedem beliebigen Punkt r aus und entlang jedes beliebigen Pfades, der das Zentrum meidet, definieren.

Dies ist aber wiederum nur ein Spezialfall von Zusammenhängen, die in der Kohomologietheorie behandelt werden. Dort geht es allgemein um den Zusammenhang zwischen dem Kern und dem Bild des äußeren Differentials, also z.B. um die Frage wann beide gleich sind, was für 1-Formen gerade äquivalent zur Aussage ist, daß jedes wirbelfreie Feld ein Potential besitzt, und wie, wenn sie es nicht sind, man ihre "Differenz" charakterisieren kann.




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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2017-10-10 09:24


2017-10-10 08:08 - index_razor in Beitrag No. 18 schreibt:
Sternförmigkeit ist keine notwendige Bedingung, sondern nur hinreichend.  Für die Frage ob ein rotationsfreies Feld ein Gradientenfeld ist, reicht meines Wissens zu prüfen, daß der Definitionsbereich einfach zusammenhängend ist.

Ich habe bisher nur Beweise des Poincaré-Lemmas gesehen, die die (striktere) Sternförmigkeit forderten - vmtl., um den Beweis leichter zu machen. Ansonsten stimme ich aber zu, meine Aussage war zu speziell.



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lissy1234567
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-10 10:02


@lula:
Ja genau, \epsilon ist ein Skalar und kein Tensor. Und beim Gesetz von Gauß gilt ja
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Du hast aber gesagt, dass w ja bis auf die Konstante und q_0 das Selbe wie E ist und somit, falls divw = 0 ist auch divE = 0 gilt, richtig ?



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2017-10-10 13:10


2017-10-10 08:08 - index_razor in Beitrag No. 18 schreibt:
Sternförmigkeit ist keine notwendige Bedingung, sondern nur hinreichend.  Für die Frage ob ein rotationsfreies Feld ein Gradientenfeld ist, reicht meines Wissens zu prüfen, daß der Definitionsbereich einfach zusammenhängend ist.  Es reicht also z.B. auch, daß alle geschlossenen Kurven stetig in Punkte verformbar sind.  Daraus folgt dann mit der Rotationsfreiheit <math>\nabla\times E</math> die Wegunabhängigkeit von

<math>\int E\ dr</math>

im wesentlichem aus dem Satz von Stokes und du kannst

<math>\phi(R) \stackrel{\rm def}{=} \int_r^R E\ dr</math>

von jedem beliebigen Punkt r aus und entlang jedes beliebigen Pfades, der das Zentrum meidet, definieren.

Dies ist aber wiederum nur ein Spezialfall von Zusammenhängen, die in der Kohomologietheorie behandelt werden. Dort geht es allgemein um den Zusammenhang zwischen dem Kern und dem Bild des äußeren Differentials, also z.B. um die Frage wann beide gleich sind, was für 1-Formen gerade äquivalent zur Aussage ist, daß jedes wirbelfreie Feld ein Potential besitzt, und wie, wenn sie es nicht sind, man ihre "Differenz" charakterisieren kann.




Jede geschlossene Kurve muss auf Null zusammenziehbar sein? Wie sieht es denn mit der Kurve in der x-y-Ebene aus die geschlossen um den Nullpunkt geht? Z.B. ein Großkreis (der Kugelförmigen Menge, wenn man diese bis R betrachtet) in der x-y-Ebene? In 0 gilt rot E = 0 ja nicht für das Coulomb-Feld.



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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2017-10-10 18:28


Du kannst den Weg doch einfach aus der xy-Ebene ein bisschen verschieben, sodass er nicht mehr die 0 einkreist (wir sind in 3 Dimensionen!). Dann kannst du den Weg auch wieder zusammenziehen.



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index_razor
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2017-10-10 20:00


2017-10-10 13:10 - digerdiga in Beitrag No. 21 schreibt:
Jede geschlossene Kurve muss auf Null zusammenziehbar sein?

Ich glaube nicht, daß es so sein muß.  Es dürfte aber reichen und das Gebiet muß dafür nicht sternförmig sein.

Wenn ich das richtig verstehe besitzt ein gegebenes rotationsfreies Vektorfeld genau dann ein Potential, wenn sein Integral über jede geschlossene Kurve verschwindet. (Dies ist ein Spezialfall von de-Rahms Theorem.)

Wenn nun jede geschlossene Kurve Rand irgendeiner Fläche ist, dann besitzt jedes rotationsfreie Vektorfeld ein Potential.  Denn dann gilt für jede geschlossene Kurve

<math>\oint E\ dr = \int \nabla \times E d^2 r = 0</math>

und die erste Aussage ist anwendbar.  

Wenn nun jede Kurve zusammenziehbar ist, kann ich, glaube ich, ähnlich argumentieren wie im zweiten Fall, d.h. irgendwie muß meine Kurve ja dann beim Zusammenziehen eine Fläche überstreichen, deren Rand sie ursprünglich mal war.  Aber ich weiß nicht, ob man da ein rigoroses Argument draus machen kann.  Die Aussage selbst stimmt aber meines Wissens trotzdem.



Wie sieht es denn mit der Kurve in der x-y-Ebene aus die geschlossen um den Nullpunkt geht? Z.B. ein Großkreis (der Kugelförmigen Menge, wenn man diese bis R betrachtet) in der x-y-Ebene? In 0 gilt rot E = 0 ja nicht für das Coulomb-Feld.

Ich glaube Tirpitz hat hier schon das wesentliche gesagt.  Daß die Kurve in einer Ebene liegt, die die Singularität enthält, ist unerheblich im Dreidimensionalen.  In der punktierten Ebene hat tatsächlich nicht jedes rotationsfreie Vektorfeld ein Potential, z.B.  die "Windungsform"

<math>\vec{\theta} =  \frac{x \vec{e}_y - y\vec{e}_x}{x^2 + y^2}</math>

nicht.



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2017-10-10 21:07



Wenn nun jede geschlossene Kurve Rand irgendeiner Fläche ist, dann besitzt jedes rotationsfreie Vektorfeld ein Potential.  Denn dann gilt für jede geschlossene Kurve
Jede geschlossene Kurve ist Rand irgendeiner Fläche? Die Fläche kann ich mir dann aussuchen, oder? So dass sie in meiner Menge liegt und dort rot E = 0 gilt?!


Sofern die Fläche in meiner Menge liegt, gilt
<math>\oint E\ dr = \int \nabla \times E d^2 r = 0</math>
dann immer oder welche weiteren Einschränkungen habe ich dann noch?
Der Stokessche Satz gilt ja nicht immer...


Ich glaube Tirpitz hat hier schon das wesentliche gesagt.  Daß die Kurve in einer Ebene liegt, die die Singularität enthält, ist unerheblich im Dreidimensionalen.

Tirpitz hat gesagt ich könnte die Kurve verschieben, aber das geht doch nicht, da ich die Kurve beliebig auswählen darf sonst wär sie ja nicht mehr beliebig.
Was er vielleicht meint ist, dass ich die entsprechende Ebene die sie einschließt so wählen/verschieben kann, dass sie die Singularität nicht enthält, aber trotzdem noch die gleiche Randkurve besitzt?!?!



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index_razor
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2017-10-10 21:35


2017-10-10 21:07 - digerdiga in Beitrag No. 24 schreibt:

Wenn nun jede geschlossene Kurve Rand irgendeiner Fläche ist, dann besitzt jedes rotationsfreie Vektorfeld ein Potential.  Denn dann gilt für jede geschlossene Kurve


Jede geschlossene Kurve ist Rand irgendeiner Fläche? Die Fläche kann ich mir dann aussuchen, oder? So dass sie in meiner Menge liegt und dort rot E = 0 gilt?!

Wofür willst du dir eine Fläche aussuchen?  Entscheidend ist nur, daß sichergestellt ist, daß jedes Ringintegral über E verschwindet.  Wenn <math>\nabla\times E = 0</math> und jeder solche "Ring" gleichzeitig ein Rand ist, gilt die Aussage doch.  Hauptsache -- zumindest für die Anwendung von Stokes -- ist, daß es diese Fläche gibt.  Machen mußt du eigentlich nichts mit ihr.


Sofern die Fläche in meiner Menge liegt, gilt
<math>\oint E\ dr = \int \nabla \times E d^2 r = 0</math>
dann immer oder welche weiteren Einschränkungen habe ich dann noch?
Der Stokessche Satz gilt ja nicht immer...

Glatte Felder und Kurven mit höchstens vereinzelten Ecken sollten als Voraussetzung reichen.  



Ich glaube Tirpitz hat hier schon das wesentliche gesagt.  Daß die Kurve in einer Ebene liegt, die die Singularität enthält, ist unerheblich im Dreidimensionalen.

Tirpitz hat gesagt ich könnte die Kurve verschieben, aber das geht doch nicht, da ich die Kurve beliebig auswählen darf sonst wär sie ja nicht mehr beliebig.

Bedingung war, daß die Kurve im Raum auf einen Punkt zusammenziehbar ist, nicht, daß das innerhalb der Ebene, in der sie vielleicht zufällig liegt bereits möglich ist.  Du darfst sie vor oder während des Zusammenziehens gern beliebig verschieben.



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lissy1234567
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-11 08:54


mich freut ja, dass sich so eine diskussion entfacht hat, aber es wäre auch cool, wenn mir jemand meine Frage beantworten würde :D mein letzter post hier ging zwar an lula, aber falls wer ne antwort weiß, immer her damit :D



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, eingetragen 2017-10-11 21:49


Hallo lissy1234567,
2017-10-09 13:38 - lissy1234567 in Beitrag No. 13 schreibt:
Nun, wenn E das wie im Text beschriebene von q_0 an der Stelle x_0 erzeugte Feld ist, was ist dann w(x)?
schon in Beitrag 4 ist zu sehen, dass sich die Felder E und w nur durch den konstanten Faktor fed-Code einblenden unterscheiden. E ist die elektrische Feldstärke des von der Punktladung fed-Code einblenden erzeugten Feldes, w eine dazu proportionale Größe, bei der man den Faktor fed-Code einblenden weggelassen hat.

2017-10-09 13:38 - lissy1234567 in Beitrag No. 13 schreibt:
Außerdem stellt sich die Frage, warum div(eE) ungleich 0 ist laut Gaußschem Gesetz, wenn doch div(E) für x ungleich x_0 null sein sollte...jetzt bin ich etwas verwirrt

fed-Code einblenden

2017-10-09 13:38 - lissy1234567 in Beitrag No. 13 schreibt:
Kann mir jemand vielleicht genau sagen, was mit div und rot von E ist und ebenso was w ist und warum (vielleicht kann man es sogar anschaulich erklären) div und rot von w null sind, obwohl div(E) nicht 0 ist?
Zur physikalischen Bedeutung der Rotation hat lula in Beitrag 14 schon einiges geschrieben, sie gibt die Wirbeldichte des Feldes an.
fed-Code einblenden

Zur Auflösung dieses scheinbaren Widerspruchs kann man die Deltafunktion von Dirac verwenden. Eine ausführliche Erklärung dazu findest Du in dem Buch Einführung in die mathematischen Methoden der Theoretischen Physik von Hans Jörg Dirschmid, Wolfgang Kummer und Manfred Schweda.

Servus,
Roland




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lissy1234567
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-13 10:31


Vielen Dank für die ausführliche Antwort, mir ist jetzt so Einiges klar geworden :)



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