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Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » Beweis Satz Stabilität
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Universität/Hochschule Beweis Satz Stabilität
robincgn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-10 13:51


Hallo Matheplanet, kann mir jemand helfen den Beweis des folgenden Satzes zu verstehen.
In meinen Vorlesungen kamen Mannigfaltigkeiten nur ansatzweise vor.
Auch verstehe ich nicht, warum der Beweis das zeigt, was er zeigen soll.
Also wo der Zusammenhang des Systems am Ende mit dem ursprünglichen System ist.






Gruß robin



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-12 07:59


Hallo,

ich bin mir nicht sicher, wie weit ich ausholen sollte, daher erst mal eine erste Version, dann kannst Du ja ggf. weiter nachfragen.

Die DGL ist so gestrickt, dass x=0 für jeden Parameterwert eine Ruhelage ist und dass speziell bei <math>\phi=0</math> die Linearisierung in <math>x=0</math> einen einfachen Eigenwert 0 hat.
Nach dem Satz von der Zentrumsmannigfaltigkeit gibt es dann eine eindimensionale Kurve durch x=0, die tangential an den Eigenvektor zum Eigenwert 0 ist und die unter dem Fluss invariant ist. Wie diese Kurve genau aussieht und was der Fluss bzw. die Dynamik darauf ist, das kann man bestimmen, indem man die Invarianz und die Taylorentwicklung des Vektorfelds nutzt (also auch Terme höherer Ordnung, die bei einem Eigenwert 0 eben eine Rolle spielen).

Man kann aber auch das erweiterte System
<math>\frac{dx}{dt}=f(x,\phi)</math>

<math>\frac{d\phi}{dt}=0</math>

anschauen, das bei <math>x=\phi=0</math> einen doppelten Eigenwert 0 hat. Da hat man dann im x-<math>\phi</math>-Raum eine zweidimensionale Zentrumsmannigfaltigkeit, also eine Fläche, die invariant unter dem Fluss ist und tangential an die beiden Eigenvektoren. Außerdem kann man sich leicht überlegen, dass in dieser Fläche natürlich auch <math>\frac{d\phi}{dt}=0</math> ist, diese Fläche also "gefasert" ist. Dein Satz sagt jetzt, dass man mit Hilfe der Invarianz und der Taylorentwicklung 2.Ordnung von f, die Dynamik auf der Zentrumsmannigfaltigkeit durch die DGL

<math>\frac{dc}{dt}=\frac{a}{2}c^2+ b\phi c</math>

<math>\frac{d\phi}{dt}=0</math>

beschreiben kann, wobei <math>c</math> eine Koordinate in Richtung des Eigenvektors zum Eigenwert 0 von Df(0,0) ist. Abhängig von den Vorzeichen von a und b verhalten sich die Lösungen unterchiedlcih, das ist dann in den Fällen i. bis iv. aufgedröselt.

Viele Grüße,
haerter


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robincgn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-12 12:16


Also erstmal vielen Dank für deine Mühe, aber so ganz erschließt es sich mir noch nicht. Ich gehe den Beweis mal Schritt für Schritt durch.

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Gruß robin



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-12 15:18



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Das Vektorfeld ist eigentlich n-dimensional und die Zentrumsmannigfaltigkeit ist eindimensional (also eine Kurve).
Alternativ kann man das erweiterte Vektorfeld mit <math>\frac{d\phi}{dt}=0</math> betrachten, das ist dann (n+1)-dimensional und die Zentrumsmannigfaltigkeit ist zweidimensional, also eine Fläche.

Die Sache mit der direkten Summe ist Lineare Algebra. Dort kann man zu einer gegebenen Matrix eine Zerlegung in die direkte Summe von verallgemeinerten Eigenräumen konstruieren (Stichwort Jordan-Normalform)


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Das hat mit dem konkreten System wenig zu tun, sind allgemeine Eigenschaften von ZM.


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Siehe oben, weil der Eigenwert 0 einfach ist.
 

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Hmm, irgendwie schon, ich würde es so sagen. Der Eigenraum zum Eigenwert 0 lässt sich schreiben als <math>\{ (x,\phi)\in\mathbb{R}^{n+1};x=cw\}</math>, er lässt sich also parametrisieren durch <math>c</math> und <math>phi</math>. Die Zentrumsmannigfaltigkeit ist (lokal) ein Graph über dem Eigenraum, also von der Form <math>W^c=\{(x,\phi); x=cw+h(c,\phi), |c|<c_0\; etc.\}</math>.
Invariant heißt dann, dass eine Lösung, die in <math>W^c</math> startet, in <math>W^c</math> bleibt. Da <math>\phi</math> sich nicht ändert, kann man eine Lösung <math>x(t)</math> also durch das entsprechende <math>\phi</math> und eine Funktion <math>c(t)</math> beschreiben, d.h. entlang der Lösung ist <math>x(t)= c(t)w+h(c(t),\phi)</math>.


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Ja, fast. Auf der rechten Seite steht vermutlich noch "+...", aber man weiß bei einer transkritischen Verzweigung, dass die Terme höherer Ordnung das Verhalten nicht wesentlich ändern.


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Aus zwei Gründen:
1) Sind die Lösungen in der ZM ja auf jeden Fall Lösungen, und mit Hilfe der ZM findet man schon mal einige Lösungen der DGL
2) Weil alle anderen Eigenwerte der Jacobimatrix negativen Realteil haben, klingen die übrigen Anteile der Lösung exponentiell ab, d.h. alle(!) Lösungen nähern sich sehr schnell einer Lösung auf der ZM an.
Was man also (bei Simulationen etc.) beobachten würde sind "fast" die Lösungen in der ZM.
Viele Grüße,
Jörg


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robincgn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-13 01:26


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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-10-13 07:59


Hallo,

2017-10-13 01:26 - robincgn in Beitrag No. 4 schreibt:
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Im erweiterten System mit <math>\frac{d\phi }{dt}=0</math> hat man bei <math>x=\phi=0</math> zwei Eigenvektoren zum Eigenwert 0, einer ist der Eigenvektor w von Df(0,0), der andere zeigt in <math>\phi</math>-Richtung. Diese beiden kann ich als Basis des Eigenraums verwenden. Streng genommen würde ich also Punkte im Eigenraum als

<math>\left(\begin{array}{c}x\\\phi\end{array}\right)= c\cdot \left(\begin{array}{c}w\\0\end{array}\right)+ d\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)</math>

schreiben und durch c,d parametrisieren. Aber weil d ja genau dem Wert von <math>\phi</math> entspricht, parametrisiert man den Eigenraum eben durch c und <math>\phi</math>. Die ZM als Graph über dem Eigenraum lässt sich dann lokal ebenfalls durch c und <math>\phi</math> parametrisieren.


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Ja.

Viele Grüße,
haerter




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robincgn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-13 15:16


Ich versuche gerade den Beweis vollständig und für mich verständlich aufzuschreiben, aber ich habe immer noch Probleme, vor allem was die Parameterisierung angeht.

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Gruß robin



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-10-14 00:21


Hallo,

ZM Graph über dem Eigenraum: das ist Inhalt jedes "Satzes über ZM"

Zweiter Eigenvektor: (0,0,...,0,1) ist eben Eigenvektor, wenn die letzte Zeile der Matrix nur Nullen enthält.

Eigenraum: enthält alle Linearkombinationen der Eigenvektoren

Eigenschaften von H: das ist wieder der allgemeine Satz

Viele Grüße,
haerter




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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-14 13:31


Hast du eine schöne Version von dem Satz zur ZM?
Finde da verschiedenes, aber entweder es steht nicht drin oder ich sehe nicht, wie ich Rückschlüsse auf die Funktion h ziehe und warum die ZM lokal Graph über dem Eigenraum ist.



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-10-15 14:55


Hallo,

ich finde zum Beispiel die Darstellung in Guckenheimer/Holmes genz gut (da ist glaube ich kein Beweis drin, aber darauf kommt es vielleicht auch nicht an.

Viele Grüße,
haerter


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