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Mathematik » Analysis » Gebiet Definition, Dimension
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Universität/Hochschule J Gebiet Definition, Dimension
lissy1234567
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-10


Hallo,

Ich würde gerne wissen, ob ein Gebiet im mathematischen Sinne 2- oder 3 dimensional ist bzw. ob beides möglich ist?

Die Frage kam auf, als ich mich mit der Elektrostatik beschäftigt habe. Dort gibt es eine Stelle (nicht so wichtig), aus der man eine Gleichung folgern soll. Also fragte ich mich, ob es möglich ist eine geschlossene Kurve als Rand eines Gebiets zu betrachten, was ja nur möglich ist, wenn das Gebiet sozusagen eine Fläche ist.


Edit: Mich verwirrt das, weil ich eigentlich dachte, dass w(x) drei-dimensional ist...somit könnte man ja auch keine Kurve als Rand auffassen. Oder wisst ihr, wodurch genau folgt, dass das rot eingekreiste stimmt?

Vielen Dank für eure Hilfe :)
lissy



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-10


2017-10-10 14:09 - lissy1234567 im Themenstart schreibt:
Ich würde gerne wissen, ob ein Gebiet im mathematischen Sinne 2- oder 3 dimensional ist bzw. ob beides möglich ist?

Das kann man ohne zusätzliche Informationen nicht beantworten. Es gibt einen mathematischen Begriff "Gebiet" (den du sicher auch schon nachgeschlagen hast), der hier aber wohl nicht gemeint ist.

In der abgebildeten Buchseite kommt das Wort "Gebiet" in einem Abschnitt vor, bei dem es heißt "aus (ii) folgt", und das mit der Kurve bei "aus (iii) folgt". Vermutlich ist nicht gemeint, dass <math>\gamma</math> der Rand von <math>\Omega</math> ist.

Das rot eingekreiste folgt vermutlich mit dem Satz von Stokes.



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lissy1234567
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-10


Genau, das rot eingekreiste folgt meiner Meinung auch mit Stokes. Aber wie?
Da wir ja ein Integral über eine Kurve haben und die Kurve nicht den Rand eines 3-dimensionalen Gebiets sein kann, verstehst du?

Kann mir jemand zeigen, wie man das eingekreiste mit Stokes herleitet?
Zur Info
fed-Code einblenden
wobei E das elektrische Feld ist.

Grüße,
lissy :)




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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-10


2017-10-10 15:36 - lissy1234567 in Beitrag No. 2 schreibt:
Genau, das rot eingekreiste folgt meiner Meinung auch mit Stokes. Aber wie?
Da wir ja ein Integral über eine Kurve haben und die Kurve nicht den Rand eines 3-dimensionalen Gebiets sein kann, verstehst du?

Ich verstehe nicht, warum du meinst, dass die Kurve der Rand eines dreidimensionalen Gebiets sein müsste. Der Satz von Stokes stellt eine Beziehung her zwischen Oberflächenintegralen und Kurvenintegralen.



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lissy1234567
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-11


achso! ja bei wikipedia steht auf einer Seite das Gebiet beim Integral, auf der anderen Seite der Rand des Gebiets. Daher dachte ich, man müsse sozusagen das Kurvenintegral identifizieren, also kann man einfach so schreiben:
fed-Code einblenden
?
Bislang dachte ich, der Satz stellt eine Zusammenhang zwischen Volumen -
 und Oberflächenintegral dar.



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darkhelmet
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-10-11


Ich glaube, ich bin der falsche, um dir den Satz von Stokes zu erklären. Ich habe mir die Vektoranalysis nie systematisch angeeignet, sondern stopsle mir das immer irgendwie zusammen, wenn ich konkrete Vektorfelder gegeben habe.



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lissy1234567
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-11


trotzdem danke!
Kann mir jemand anderes vielleicht dabei helfen?



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-10-11


Es geht hier um zwei verschiedene Integralsätze:

1. Der Satz von Gauß sagt, dass das Volumenintegral

    <math>\displaystyle
\int_\Omega\mathop{\rm div}{\bf E}({\bf x})\;{\rm d}V({\bf x})</math>

und das Flächenintegral

    <math>\displaystyle
\int_{\partial\Omega}{\bf E}({\bf x})\cdot{\bf n}({\bf x})\;
{\rm d}s({\bf x})</math>

den gleichen Wert liefern. Hierbei ist <math>\Omega</math> ein Volumen, <math>\partial\Omega</math> seine Oberfläche und <math>{\rm d}s({\bf x})</math> das (skalare) Flächenelement auf dieser Oberfläche. Wenn man <math>\Omega</math> noch als zusammenhängend und offen (bzw. abgeschlossen) voraussetzt, ist es im mathematischen Sinne ein Gebiet (bzw. ein abgeschlossenes Gebiet).

2. Der Satz von Stokes sagt, dass das Flächenintegral

     <math>\displaystyle
\int_{\cal F}\mathop{\rm rot}{\bf E}({\bf x})\cdot{\bf n}({\bf x})\;
{\rm d}s({\bf x})</math>

und das Kurvenintegral

     <math>\displaystyle
\int_{\partial\cal F}{\bf E}({\bf x})\cdot
{\rm d}{\bf x}</math>

den gleichen Wert liefern. Hierbei ist <math>\cal F</math> eine Fläche und <math>\partial\cal F</math> eine Kurve, die diese Fläche berandet. (Im Gegensatz zu <math>\partial\Omega</math> ist, wenn man <math>\cal F</math> als Teilmenge des <math>{\Bbb R}^3</math> betrachtet, <math>\partial\cal F</math> nicht der Rand dieser Menge im topologischen Sinne.)

Deine Verwirrung rührt vermutlich daher, dass Du diese beiden Integralsätze durcheinanderwirfst.

Grüße,
dromdar



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lissy1234567
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-13


Ich verstehe, SO klar war es mir tatsächlich nicht. Jetzt hat sich das Problem ja gelöst, danke vielmals :)



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