Die Mathe-Redaktion - 19.10.2017 16:16 - Registrieren/Login
Auswahl
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden oder den Newsletter bestellen.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 836 Gäste und 26 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von fru MontyPythagoras
Mechanik » Kinematik der Punktmasse » Kreisbewegung maximale Geschwindigkeit
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Kreisbewegung maximale Geschwindigkeit
MatheHallodri
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 11
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-11 22:30


Hallo

Ein Rennwagen hat einen Beschleunigungssensor verbaut. Für seine 2. Runde braucht er 46s und die Daten lauten folgendermassen:


fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

<math>g=10m/s^2</math> und <math>v(t=0)= \frac{60}{\pi}</math>

Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit.

Ich hoffe es ist verständlich was gemeint ist, schöner hab ich es ned hinbekommen.

Nun, nach meinem Verständnis muss die maximale Geschwindigkeit dort liegen, wo die senkrechte Beschleinigung 0 ist, jedoch nicht ganz am Ende von <math>a_{||}</math>, da er dort wieder abbremsen muss.

Da <math>a(t)= \dot{v}*e_{||}(t) + \frac{v^2}{r}</math> ist, dachte ich mir um die exakte Zeit zu finden, <math> \dot{v}*e_{||}(t) </math> ableiten und 0 setzen um das Extrema zu finden. Aber wirklich gehen tut es nicht. Wie geht man an die Aufgabe am besten ran?

Bin über jede Hilfe dankbar




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 959
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-12 17:03


Hallo MatheHallodri,
ich nehme an, das Parallelzeichen steht für Längsbeschleunigung (also in Fahrtrichtung beschleunigen oder bremsen), und das Senkrechtzeichen für Querbeschleunigung.
Dein Verständnis jedenfalls trügt Dich. Ich nehme doch an, dass Du schon in Fahrzeugen mitgefahren bist, wenn auch nicht unbedingt in Rennwagen.  smile Ändert die Querbeschleunigung Deine absolute Geschwindigkeit? Nein, sie ändert nur Deine Richtung. Du kannst die Querbeschleunigung also komplett ignorieren, und brauchst nur die Längsbeschleunigung betrachten.
Wenn Du also die Längsbeschleunigung einmal integrierst, hast Du die Fahrgeschwindigkeit, also vektoriell betrachtet den Betrag des Geschwindigkeitsvektors, und nur der interessiert Dich. Die Geschwindigkeit ist natürlich extremal, wenn die Längsbeschleunigung null ist.

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MatheHallodri
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 11
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-13 00:34


2017-10-12 17:03 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1 schreibt:
ich nehme an, das Parallelzeichen steht für Längsbeschleunigung (also in Fahrtrichtung beschleunigen oder bremsen), und das Senkrechtzeichen für Querbeschleunigung.

Hallo, danke für deine Antwort.

Ja so ist es gemeint. Hätte ich noch explizit hinschreiben sollen.

Also integriere ich <math>g*sin(\frac{2*\pi}{20s}*t)</math> und erhalte die Geschwindigkeit. Um das Extrema zu finden, muss ich das erhaltene Integral einmal ableiten, was mich wieder zu <math>g*sin(\frac{2*\pi}{20s}*t)</math> führt.
Wenn ich das Null setze, ist die einzige Lösung t=0, was garantiert falsch ist. Zudem ist <math>t_{0}</math> nicht 0. Wie muss ich das noch in die Gleichung einbauen?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 959
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-13 11:02


Hallo MatheHallodri,
ich möchte von Deinem Usernamen nicht auf Deine Sorgfalt schließen, aber vielleicht denkst Du noch einmal über die Sinusfunktion nach und wo sie denn Nullstellen hat. Jedenfalls definitiv nicht nur bei t=0.
Außerdem ist von t0 nirgendwo die Rede, nur von v0. Das ist die Startgeschwindigkeit. Na und? Warum sollte die Startgeschwindigkeit null sein? Ein Rennwagen hält nie an, außer zum Tanken. An der Gleichung für die Beschleunigung ändert das erst einmal gar nix, es ist nur eine Konstante in der Gleichung für die Geschwindigkeit, die bei Differentiation sowieso wieder rausfiele.

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MatheHallodri
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 11
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-14 17:48


<math>g*sin(\frac{2*\pi}{20s}*t)</math> Wird integriert, anschliessend die erste Ableitung 0 gesetzt, um das Extrema zu finden. Führt uns zu
<math>g*sin(\frac{2*\pi}{20s}*t)</math>=0
g kann nicht null sein, und t=0 wollen wir nicht. sin wird bei <math>2\pi</math> = 0. Also muss der Term innerhalb sin=2pi ergeben:

<math>\frac{2*\pi}{20s}*t=2\pi</math>
Das ergibt die Lösung t=20, dort liegt auch keine Beschleunigung mehr vor laut Aufgabenstellung. Eine andere 0 Stelle ergibt sich aber bei <math>\pi</math>, was zu t=10 führt. Wie argumentiere ich nun, welches von beiden richtig ist?

Das Integral von <math>g*sin(\frac{2*\pi}{20s}*t)</math> lautet: <math>-\frac{10*g*cos(\frac{\pi*t}{10})}{\pi}+C</math>, wobei C vermutlich mein <math>v(t=0)=\frac{60}{\pi}</math> ist. Dieses Minus erscheint mir schlecht :S
Aus meinem Bauchgefühl hab ich 20s und nicht 10s eingesetzt, wieso ist eben noch einer meiner Fragen.
Wenn ich das Minus weglasse und mich auf den Betrag fokussiere, ergibt es: <math>\frac{10*g*cos(\frac{\pi*20}{10})}{\pi}+\frac{60}{\pi}=50m/s=183km/h</math>

Was lief alles falsch?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 959
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-10-14 18:49


Hallo MatheHallodri,
2017-10-14 17:48 - MatheHallodri in Beitrag No. 4 schreibt:
Was lief alles falsch?

Um ehrlich zu sein, eine ganze Menge...
Aber Du hast richtigerweise erkannt, dass es bei 10s auch noch eine Nullstelle im Sinus gibt, und genau dort ist auch das Geschwindigkeitsmaximum. Du hast sogar den richtigen Zahlenwert ausgerechnet, aber eher zufällig, denn eigentlich ist die Formel falsch. Also rechne ich es mal richtig vor:
Da ich ein grundsätzliches didaktisches Problem damit habe, mit Zahlenwerten in Formeln zu rechnen, setzen wir erst einmal T=20 Sekunden, und die Formel für die Beschleunigung lautet:

<math>\displaystyle a_{||}(t)=g\sin\left(\frac{2\pi}Tt\right)</math>

Einmal integrieren (bestimmtes Integral von null bis t) ergibt v(t):

<math>\displaystyle v(t)-v(0)=\intop_0^ta_{||}(\tau)\text d\tau</math>

<math>\displaystyle v(t)-v(0)=\intop_0^tg\sin\left(\frac{2\pi}T\tau\right)\text d\tau</math>

<math>\displaystyle v(t)-v(0)=\left[-\frac{gT}{2\pi}\cos\left(\frac{2\pi}T\tau\right)\right]_0^t</math>

Bedenke, das <math>\cos0=1</math> ist. Dann folgt:

<math>\displaystyle v(t)=v(0)+\frac{gT}{2\pi}\left(1-\cos\left(\frac{2\pi}Tt\right)\right)</math>

Da der Sinus eben auch bei <math>\pi</math> eine Nullstelle hat, ist die Geschwindigkeit nicht nur bei <math>t=0</math> und <math>t=T</math>, sondern auch bei <math>t=\frac12T</math> extremal. Du könntest die Beschleunigung einmal ableiten und die entsprechenden Punkte untersuchen. Du würdest feststellen, dass die Ableitung der Beschleunigung bei <math>t=\frac12T</math> kleiner als null ist - ein sicheres Zeichen für ein Maximum.  smile Du könntest aber auch einfach die Kurven zeichnen oder in einer Mathe-Software darstellen.
Setzen wir also <math>t=\frac12T</math> ein:

<math>\displaystyle v_{\text{max}}=v(\frac12T)=v(0)+\frac{gT}{2\pi}\left(1-\cos\pi\right)</math>

<math>\displaystyle v_{\text{max}}=v(0)+\frac{gT}{2\pi}\cdot 2</math>

<math>\displaystyle v_{\text{max}}=v(0)+\frac{gT}{\pi}</math>

Du solltest Deinen Rechenweg damit noch einmal abgleichen.
Der Rennwagen fährt ein sehr langes "Oval" aus zwei langen Geraden und zwei Halbkreisen. Die Aufzeichnung beginnt am Ende einer Kurve, und zwar mit <math>v(0)</math>, also der Geschwindigkeit, die der Fahrer in der Kurve eben geradeso fahren konnte, ohne rauszurutschen. Der Fahrer tritt am Ende der Kurve auf's Gas und beschleunigt die Gerade runter, bis er nach 10s das Maximum erreicht. Nun muss er wieder bremsen, denn beim Eintritt in die Kurve muss er wieder auf v(0) runter sein, weil er sonst abfliegen würde. Er fährt die Kurve mit konstanter Geschwindigkeit, und fährt die Gegengerade wieder genauso wie die erste Gerade. Die Gerade ist etwa 1km lang, die 180°-Kurve hat aber nur einen Radius von etwa 18m. Vermutlich fährt er auf einer Flughafen-Startbahn.  biggrin

Ciao,

Thomas Puls



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MatheHallodri
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 11
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-14 19:42


2017-10-14 18:49 - MontyPythagoras in Beitrag No. 5 schreibt:
Hallo MatheHallodri,
2017-10-14 17:48 - MatheHallodri in Beitrag No. 4 schreibt:
Was lief alles falsch?

Um ehrlich zu sein, eine ganze Menge...


haha ja, der Name kommt nicht von ungefähr. Der Weg ist sehr schön nachvollziehbar. Danke hierführ.

Kannst du mir noch verraten, wie du auf Länge und den Radius der Kurve gekommen bist?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 959
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-10-14 20:28


Hallo MatheHallodri,
mir fiel grade auf, dass der berechnete Wert von 183km/h doch nicht richtig war. Wenn Du in die Formel oben die Zahlenwerte einsetzt, kommt knapp 298km/h heraus. Das wollte ich erst noch einmal richtigstellen.
Wenn Du die Formeln für die Beschleunigung ansiehst, stellst Du fest, dass der Wagen längs nur beschleunigt und bremst (0-20s), wenn die Querbeschleunigung null ist. Also fährt er geradeaus. Wenn die Längsbeschleunigung null ist (20-23s), dann herrscht eine konstante Querbeschleunigung. Also fährt er eine Kurve mit konstantem Radius. Man kann zeigen, dass er in genau den 3 Sekunden, die die Kurvenfahrt dauert, genau einen Halbkreis fährt und sich damit insgesamt eine geschlossene Kurve ergibt.
Die Länge der Geraden und den Kurvenradius solltest Du aber selbst berechnen können. Für die Länge der Geraden musst Du nur die Geschwindigkeit noch einmal von 0 bis T integrieren, und die Formel für die Zentrifugalkraft solltest Du auch anwenden können. Versuch es doch mal.

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MatheHallodri hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2017 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]