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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Positiv semidefinite Matrizen
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Universität/Hochschule J Positiv semidefinite Matrizen
Rene_21
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-12 11:29


Hallo,

ich sitze gerade beim Beweis folgender Aussage



Meiner Meinung nach ist die Aufgabe falsch gestellt oder kann man das wirklich zeigen? Müsste es nicht heißen, dass wenn eine Matrix hermitesch ist und positiv semidefinit, dass dann all ihre Eigenwerte positiv sind sowie auch der umgekehrte Weg, d. h. eine Äquivalenz besteht?

Falls man das zeigen kann, sowie es in der Aufgabe steht, hätte mir vielleicht jemand einen Tipp wie ich dies machen könnt?

lg, René



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-12 11:47


Man kann die Aufgabe auch so formulieren: Sei <math>V</math> ein komplexer Vektorraum und <math>\beta</math> eine Sesquilinearform auf <math>V</math> mit <math>\beta(x,x) \geq 0</math> für alle <math>x \in V</math>. Zu zeigen ist nun, dass <math>\beta</math> hermitesch ist, also <math>\beta(x,y)=\overline{\beta(y,x)}</math> für alle <math>x,y \in V</math> gilt. Nutze dazu die Polarisierungsgleichung

<math>\displaystyle4 \cdot \beta(x,y) = \beta(x+y,x+y)-\beta(x-y,x-y)+i \cdot \beta(x+iy,x+iy)-i \cdot \beta(x-iy,x-iy)</math>



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Rene_21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-12 22:26


Vielen Dank für deine Antwort,

bin mir jedoch noch nicht ganz sicher wie ich diese Gleichung anwenden soll um den Beweis durchzuführen

lg



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Chandler
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Aus: Hamburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-12 23:37


Hallo René,

die Aufgabe ist richtig gestellt. Aber beachte, dass man für diese Schlussfolgerung einen komplexen Vektorraum benötigt.

Wie man den Beweis führt, hat Triceratops ja schon erklärt.

Viele Grüße
Chandler


-----------------
"vegan sausage in our bowels"
Hier ein super Hörbuch.



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Rene_21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-13 15:41


irgendwie bekomme ich das nicht ganz gebacken, mit der Polarisationsgleichung, ich meine diese zu Beweisen war ganz einfach, aber wie ich diese nun verwenden soll ist mir nicht ganz klar.
Vielleicht habt Ihr nochmals einen Tipp für mich


lg



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wessi90
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Dabei seit: 16.09.2011
Mitteilungen: 1890
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-10-13 16:22


Zunächst solltest du verstehen, dass dein <math>A</math> eine eindeutig eine Sesquilinearform definiert via <math>\beta(x,y)=\langle x|A|y\rangle</math> und die Hermitezität dann gerade <math>\beta(x,y)=\beta(y,x)^*</math> bedeutet (ich nutze mal <math>^*</math> für die komplexe Konjugation, da ich anhand er Braket Schreibweise die Aufgabe aus der Physik stammend vermute).

Ein erster Versuch wäre doch mal die Polarisationsidentität für <math>\beta(y,x)^*</math> hinzuschreiben und zu gucken, ob du damit weiter kommst.



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Rene_21
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 200
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-13 22:42


ich hab es glaub geschafft.
Vielen Dank euch!
lg, René



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Rene_21 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Rene_21 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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