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Logik, Mengen & Beweistechnik » Induktion » Summenformel - vollständige Induktion
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Universität/Hochschule Summenformel - vollständige Induktion
janalp
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.10.2017
Mitteilungen: 10
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-12 18:21


Hallo zusammen,

ich versuche eine Aufgabe zu lösen aber komme nicht weiter.




Es sei <math> n \in N</math>, es seien <math>a1, . . . , an, b1, . . . , bn   \in R</math>, und es sei <math> bn+1 := 0 </math>. Zeigen Sie via vollständiger Induktion, dass

<math>
\sum \limits_{k=1}^{n}a_{k}b_{k} = \sum \limits_{k=1}^{n}( (b_{k}-b_{k+1})\sum \limits_{j=1}^{k}a_j).
</math>

Ich habe den ersten Schritt schon gemacht.

<math>\sum \limits_{k=1}^{n+1}a_kb_k = \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k}b_{k} + a_{k+1}b_{k+1} </math>

und da b(k+1) := 0, der zweite Teil fällt aus. Aber wie kann man es weiter machen?

Danke im Voraus!



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 755
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-12 18:24


Hallo,

was möchtest du denn überhaupt zeigen?



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janalp
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.10.2017
Mitteilungen: 10
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-12 19:44


Hoopla! Ich habe das Link vergessen:

Foto



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Wirkungsquantum
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 107
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-12 19:49


Das Bild wird als nicht mehr verfügbar angezeigt.


-----------------
h=6,626⋅10^-34 Js



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ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 1676
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-10-12 19:50


Einen Doppelpunkt nach http hast du auch vergessen, und bilder-upload.eu hat anscheinend dein Bild inzwischen vergessen. Du hast doch anscheinend schon herausgefunden, wie man hier Formeln eingibt. Ist die Aufgabe so ein massiver Brocken, dass du die nicht einfach abtippen kannst?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 755
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-10-12 19:51


Zumindest bei mir funktioniert der Link leider nicht.
Du kannst das Bild auch direkt hier im Forum hochladen.

Das ist sowieso besser und würde dir früher oder später von einem Moderator abgenommen werden. Denn diese Links sind meistens nicht dauerhaft. Der Thread soll aber auch für spätere Leser nachvollziehbar sein. :)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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janalp
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.10.2017
Mitteilungen: 10
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-12 19:53


hier



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janalp
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.10.2017
Mitteilungen: 10
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-12 19:54


Ich habe alles eingetippt.



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Wauzi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 10930
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-10-12 20:22


Hallo,
Induktion ist hier nicht nötig. Nimm die rechte Seite, zerlege sie in zwei Teile, mache dann beim zweiten Teil eine Indexverschiebung (k+1->k). Dann fällt fast alles weg und die behauptete linke Seite bleibt übrig.
Gruß Wauzi


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Primzahlen sind auch nur Zahlen



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sibelius84
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.05.2011
Mitteilungen: 33
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-10-12 20:32


Hallo janalp,

(2017-10-12 18:21 - janalp im <a
Ich habe den ersten Schritt schon gemacht.

<math>\sum \limits_{k=1}^{n+1}a_kb_k = \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k}b_{k} + a_{k+1}b_{k+1} </math>

und da b(k+1) := 0, der zweite Teil fällt aus.

Naja, wenn du die Behauptung für n+1 zeigen willst, dann lautet die Voraussetzung, dass b_{n+2}=0 ist.

Hast du schon mal versucht, die linke und die rechte Seite der Behauptung für sich genommen auszurechnen und zu schauen, ob dasselbe herauskommt?

Wenn du jeweils den (n+1)-ten Summanden herauslöst und Teile, die nach Induktionsvoraussetzung gleich sind, auf beiden Seiten wegstreichst, musst du nur noch zeigen, dass das gleich ist, was übrigbleibt - und das dürfte dann eigentlich kein Problem mehr sein.

Grüße,
sibelius84

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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janalp
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.10.2017
Mitteilungen: 10
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-12 20:36


Hallo sibelius84 und Wauzi,

ich danke euch. Jetzt sehe ich meinen Fehler und ich habe die Aufgabe richtig gemacht.



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 2895
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-10-12 20:39


2017-10-12 20:22 - Wauzi in Beitrag No. 8 schreibt:
Induktion ist hier nicht nötig. Nimm die rechte Seite, zerlege sie in zwei Teile, mache dann beim zweiten Teil eine Indexverschiebung (k+1->k). Dann fällt dast alles weg und die behauptete linke Seite bleibt übrig.

Siehe auch article.php?sid=1737



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viertel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 25952
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2017-10-13 00:09


Hi janalp

Tip: der Matheplanet hat einen eigenen Upload-Service für Bilder. Schau mal unter dm Eingabefeld, wenn du postest, da gibt es den Punkt [Bilder hochladen]. Das spart Ärger mit externen Bildern.

Gruß vom ¼


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Bild



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janalp
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.10.2017
Mitteilungen: 10
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-14 00:30


Danke für den tipp!



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