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Moderiert von Dixon Orangenschale
Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Harmonischer Oszillator Orthogonalität beweisen
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Universität/Hochschule J Harmonischer Oszillator Orthogonalität beweisen
Kiji42
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-12 20:07


Hallo zusammen,

Ich versuche in einer Übung zu zeigen, dass
         <math><m|n>=\delta_{mn}</math>
wobei ich jedoch nur folgende Eigenschaften benutzen darf:
1.       <math>|n>=\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^\dagger)^n |0></math>
2.       <math>[a,a^\dagger]=1</math>
3.       <math><0|0>=1</math>
4.       <math>a|0>=0</math>

a ist der Vernichtungsoperator.
         <math>|n>=|\psi_n></math>               ist der Zustandsvektor (Wellenvektor)
         <math>[a,a^\dagger]=aa^\dagger-a^\dagger a</math>(Kommutatorrelation)
         <math>\delta_{mn}</math>                          (Kronecker-Delta)
         <math><m|n>=\int_\infty^\infty\psi_m ^* \psi_n dx </math>  (BRA-KET Notation)
Nun steck ich fest beim Ausdruck:
         <math><m|n>=\frac{1}{\sqrt{m!n!}}<0|a^n(a^\dagger)^n |0></math>
Ich habe versucht den Operator a durch die Kommutator-relation vor das
KET zu stellen, bin aber daran gescheitert. Hat jemand eine Idee oder
einen Tipp?

Viele Grüsse
Kiji



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Spock
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Aus: Schi'Kahr/Vulkan
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-12 21:20


Hallo Kiji!

2017-10-12 20:07 - Kiji42 im Themenstart schreibt:
...

Ich versuche in einer Übung zu zeigen, dass
         <math><m|n>=\delta_{mn}</math>
...

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Gruß
Juergen



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Kiji42
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-12 22:53


razz
Hoffentlich ist es jetzt verständlicher.



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Conny42
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-13 03:01


Hallo Kiji,

du kannst das mit Induktion über <math>n</math> zeigen.
Wenn du dir vorher überlegst, dass <math>a^\dagger \vert n >\, = \sqrt{n+1} \, \vert n+1 > </math> (das folgt direkt aus 1.) und <math>a \vert n > \,= \sqrt{n} \, \vert n-1 > </math> (das folgt induktiv aus den 4 Eigenschaften), dann ist der Induktionsschritt sehr kurz.

Liebe Grüße,
Conny



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Kiji42
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.10.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-13 12:08


Danke Conny, hat super geklappt bis ich hier stecken geblieben bin:

<math>\frac{1}{\sqrt m!}<0|a^m|n>=\sqrt\frac{n!}{m!}<0|n-m></math>

Für n=m und n<m erhalte ich das erwartete Resultat, doch für n>m seh ich nicht, wieso dies <math>0</math> geben soll.




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wessi90
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Dabei seit: 16.09.2011
Mitteilungen: 1890
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-10-13 12:52


Eigentlich bedarf es hier nur einer kleinen Fallunterscheidung:

Zunächst einmal folgt durch Adjunktion, dass auch <math>\langle 0|a^{\dag}=0</math> ist, sowie <math>\langle m|\propto\langle 0|a^m</math> (ich lasse mal die Wurzelfaktoren weg), wie du richtig erkannt hast.

Man betrachtet also:

<math>\displaystyle \langle 0|a^m (a^\dag)^n|0\rangle</math>.

Falls <math>m>n</math>, entsteht rechts, nachdem <math>(a^\dag)^n</math> gewirkt hat, und darauf hin <math>a</math> ebenfalls <math>n</math> mal angewendet wurde der Zustand <math>|0\rangle</math>. Nun ist aber noch mindestens ein <math>a</math> übrig (da <math>m>n</math>), das die 0 ausgibt und 0 bleibt 0.

Umgekehrt funktioniert die Argumentation sehr ähnlich und die richtige Normierung für <math>n=m</math> folgt, wenn man die Wurzelfaktoren korrekt mitschleppt.



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Kiji42
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-13 13:58


biggrin
Danke euch allen, nach der Anwendung der Adjunktion hat alles geklappt

Schönes Wochenende  smile



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