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Analysis » Integration » Faltung ist kommutativ
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Universität/Hochschule Faltung ist kommutativ
Max16hr
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.06.2016
Mitteilungen: 6
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-12 21:56


Hallo!

Ich hab hier eine eigentlich eher kleine Aufgabe und sehe die Lösung schon quasi vor mir, aber ich dreh mich einfach im Kreis.
Ich will zeigen, dass die (mehrdimensionale) Faltung kommutativ ist, d.h. <math>f*g=g*f</math>.

Mit den Subsitutionen

<math>h(y):=h_x(y):=f(x-y)g(y)</math>,
<math>\Phi(x):=\Phi_y(x):=x-y</math>,
<math>\Omega:=\mathbb{R}^n</math>

erhalte ich folgende Gleichung:

<math>(f*g)(x)</math>

<math>=\int_{\mathbb{R}^n}f(x-y)g(y)dy</math> (Definition)

<math>=\int_{\Phi(\Omega)}h(y)dy</math> (Substitution)

<math>=\int_{\Omega}h(\Phi(x))|det(D\Phi(x))|dx</math> (Transformationsformel)

<math>=\int_{\mathbb{R}^n}h(x-y)\cdot1dx</math> (Resubstitution)

<math>=\int_{\mathbb{R}^n}f(x-(x-y))g(x-y)dx</math> (Resubstitution)

<math>=\int_{\mathbb{R}^n}f(y)g(x-y)dx</math> (Vereinfachung),

da <math>|det(D\Phi(x))|=|det(I_n)|=1</math>.


Ich erhalte also

<math>\int_{\mathbb{R}^n}f(y)g(x-y)dx</math>,

müsste aber erhalten

<math>\int_{\mathbb{R}^n}f(y)g(x-y)dy</math>  <math>(=(g*f)(x))</math>.

Dann hätte ich die Kommutativität gezeigt. Aber das Inkrement stimmt nicht. Ich integriere über <math>dx</math> und nicht über <math>dy</math> und die Variable einfach umbenennen geht ja auch nicht... Was mache ich falsch?  confused

Dankeschön! smile



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1040
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-13 00:26


Hey Max16hr,

der Hund liegt da begraben, dass du die durch die Substitution entstehende, neue Variable <math>x</math> nennst (und daher auch falsch substituierst). Denn <math>x</math> ist hier fest gewählt, daher kann es ja überhaupt keinen Sinn machen am Ende ein Ergebnis zu erhalten, bei dem du plötzlich über <math>x</math> integrierst.

Substituiere lieber so:
<math>y=x-z=: \Phi(z)</math>. So kommst du dann aufs richtige Ergebnis



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Max16hr
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.06.2016
Mitteilungen: 6
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-13 13:44


Danke, du Kampfnudel! biggrin

Die Idee, dass das irgendwie problematisch sein könnte, die neue Variable <math>x</math> zu nennen und dann über <math>x</math> zu integrieren, hatte ich auch schon und habe dann auch stattdessen <math>z</math> gewählt bei der Substitution.
Dummerweise hat es dann immer noch nicht funktioniert, weil ich immer noch falsch substituiert habe mit <math>\Phi(z):=z-y</math> ...

Nun hat es aber geklappt.
Ich danke dir! smile



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