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Mathematik » Analysis » O-Notation/Landau Symbole - Beweis zu Polynomen
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Universität/Hochschule O-Notation/Landau Symbole - Beweis zu Polynomen
katenum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-13 13:33


Hallo,

Folgende Aufgabe ist gegeben:

Seien <math>p_1(n) = a_1 \cdot n^{d_1}, p_2(n) = a_2 \cdot n^{d_2}</math> Polynome wobei <math>a_1, a_2</math> positiv.

Zeigen Sie, dass dann gilt:

<math>p_1 = \Theta(p_2) \Leftrightarrow d_1 = d_2</math>

Ich weiß schon dass <math>g \in \Theta(f) :\Leftrightarrow g\in O(f)
\wedge g \in \Omega(f)</math>, dass also f eine untere und obere Schranke für g bildet.
Wie beweise ich das korrekt?

MfG
katenum



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xiao_shi_tou_
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Aus: Aalen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-13 14:40


Das stimmt wohl nicht..
Setze mal <math>d_1:=0,d_2:=1</math>.
Dann gilt <math>p_1=\mathcal{O}(p_2),n\to\infty</math>.

Edit: Es sollte wohl heissen:
<math>p_1=\mathcal{O}(p_2)\iff d_2\geq d_1</math>.

Edit2: Ok. Du meinst die Big Theta Notation, nicht die Big O Notation. Habe mich schon ueber das <math>\Theta</math> gewundert. Tut mir leid.

In diesem Fall gilt natuerlich schon <math>d_1=d_2</math>.
Es geht ja um die Ungleichung:
<math>M_1a_2n^{d_2}\geq a_1n^{d_1}\geq M_2a_2n^{d_2}</math>  mit Konstanten <math>M_1,M_2>0</math> welche zu
<math>M_1a_2\geq a_1n^{d_1-d_2}\geq M_2a_2</math> aequivalent ist.
Angenommen <math>d_1-d_2\neq 0</math>. Was ist nun das Problem fuer <math>n\gg 0</math>? Einmal fuer <math>d_1-d_2<0</math> und einmal fuer <math>d_1-d_2>0</math>.

Die Umkehrung, <math>d_1=d_2\implies p_1=\Theta(p_2)</math> ist ja klar.
lg Daniel



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katenum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-13 15:07


Ja genau die meine ich.



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