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Kein bestimmter Bereich "Mathematik-Sensation"
dlchnr
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Aus: Aalen, DE
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-13


www.spektrum.de/news/von-unendlichkeit-zu-unendlichkeit/1507787



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Chandler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-13


arxiv.org/abs/1208.5424


-----------------
"vegan sausage in our bowels"
Hier ein super Hörbuch.



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-10-13


Hallo,
ich habe mir den Spektrum-Artikel durchgelesen und verstehe nicht richtig, was nun eigentlich bewiesen wurde.
Kann mir das jemand so erklären, dass ein "normaler Mathematiklehrer", also ich, es einigermaßen versteht?

Im Moment habe ich es so verstanden, dass bewiesen wird, dass es keine Menge gibt, deren Kardinalzahl größer als die der natürlichen Zahlen ist, eine kleinere Kardinalzahl als die Menge der reellen Zahlen hat.
Das wäre aber doch die Kontinuumshypothese. Im Artikel steht aber, dass sie weder beweisbar noch widerlegbar ist.
Ich bin verwirrt.
Da fehlen mir offensichtlich die mathematischen Kenntnisse.

Danke für eine Erklärung
Steffen



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
asdfusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-14


@stpolster: Es gibt verschiedene (sogar unendlich viele) Stufen von Unendlichkeit. Die Größe von <math>\mathbb R</math> ist nach Cantor größer als die von <math>\mathbb N</math>, und die berühmte Kontinuumshypothese ist die Aussage, dass es keine Unendlichkeits-Stufe zwischen <math>\mathbb N</math> und <math>\mathbb R</math> gibt. Man hat im letzten Jahrhundert bewiesen, dass sich die Kontinuumshypothese nicht mit den gewöhnlichen Grundannahmen der Mengenlehre (den sogenannten "Zermelo-Fränkel-Axiomen") beweisen lässt.
<math>p</math> unt <math>t</math> sind zwei kompliziert definierte Mengen (beide enthalten irgendwelche abzählbaren Familien von unendlichen Teilmengen von <math>\mathbb N</math>), von denen man weiß, dass sie zumindest größer als <math>|\mathbb N|</math> sind, aber *nicht* größer als <math>|\mathbb R|</math>, und dass <math>|p| \leq |t|</math> (<math>|A|</math> bezeichnet die "Mächtigkeit"/Größe einer Menge <math>A</math>).
Es gilt also entweder <math>|p|<|t|</math> oder <math>|p|=|t|</math>. Falls nun ersteres beweisbar wäre, dann wäre ja damit die Kontinuumshypothese widerlegt, da in diesem Fall <math>|\mathbb N|<|p|<|t|\leq|\mathbb R|</math> und somit <math>|\mathbb N|<|p|<|\mathbb R|</math> gelten würde.
Also konnte man sich fragen, ob aber letztere Option (<math>|p|=|t|</math>) beweisbar ist (unter den üblichen Grundannahmen der Mengenlehre). Shelah und Malliaris konnten nun zeigen, dass das tatsächlich möglich ist. Und das Spektakuläre daran ist, dass die meisten Mengentheoretiker gar nicht erwartet hatten, dass sich diese Beziehung mit den üblichen Grundannahmen der Mengenlehre beweisen lässt.



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stpolster
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Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-10-14


Danke für die ausführliche Antwort.
Ich gestehe, ich verstehe es immer noch nicht richtig. Das ist aber auch nicht so schlimm.

Kann man aber Folgendes sagen: Es wurde bewiesen, dass es zwei abzählbare Mengen gibt, die mächtiger als N sind, und eine Kardinalität wie R besitzen.  confused

Ich verstehe es nicht. frown

LG Steffen



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darkhelmet
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-10-14


2017-10-14 08:22 - stpolster in Beitrag No. 4 schreibt:
Kann man aber Folgendes sagen: Es wurde bewiesen, dass es zwei abzählbare Mengen gibt, die mächtiger als N sind, und eine Kardinalität wie R besitzen.  confused

Nein. Abzählbare Mengen sind per Definition gleichmächtig wie <math>\mathbb{N}</math>.

Die (nicht beweisbare und nicht widerlegbare) Kontinuumshypothese sagt ja, dass die Kardinalität von <math>\mathbb{R}</math> (welche gleich der Kardinalität von <math>\mathcal{P}(\mathbb{N})</math> ist) direkt nach der Kardinalität von <math>\mathbb{N}</math> kommt, es also keine Kardinalitäten gibt, die echt dazwischen liegen.

In dem Paper geht es um zwei Teilmengen von <math>\mathcal{P}(\mathbb{N})</math> (bzw. <math>\mathbb{R}</math>), von denen man weiß, dass sie überabzählbar sind, aber nicht weiß, ob sie so mächtig sind wie <math>\mathbb{R}</math>. Bisher wusste man auch nicht, ob sie zueinander gleichmächtig sind. Das wurde jetzt bewiesen.



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stpolster
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Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-10-14


2017-10-14 09:53 - darkhelmet in Beitrag No. 5 schreibt:
In dem Paper geht es um zwei Teilmengen von <math>\mathcal{P}(\mathbb{N})</math> (bzw. <math>\mathbb{R}</math>), von denen man weiß, dass sie überabzählbar sind, aber nicht weiß, ob sie so mächtig sind wie <math>\mathbb{R}</math>. Bisher wusste man auch nicht, ob sie zueinander gleichmächtig sind. Das wurde jetzt bewiesen.
Danke, jetzt habe ich es (einigermaßen) verstanden.

LG Steffen



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-10-14


Hm, es wurde also bewiesen, dass p = t.

Wenn p < t bewiesen worden wäre, wäre das tatsächlich eine Sensation. Aber das zu beweisen, geht ja eben nicht, was bewiesen ist. Ebenso wie die Quadratur des Kreisen bewiesenermaßen unmöglich ist.

Diese "Sensation" beschränkt sich also nur auf einen sehr kleinen Kreis derjenigen Mathematiker, die erst mal überhaupt die Definition von p und t verstanden haben. Für den interessierten Laien und vermutlich sogar für den Großteil der professionellen Mathematiker wird diese Erkenntnis also ziemlich wertlos sein.

Den Satz "Die meisten Mathematiker hatten erwartet, dass p kleiner sein würde als t und ihr Verhältnis zueinander somit nicht beweisbar wäre." im Artikel halte ich für ziemlich irreführend. Erst einmal deshalb, da es sich nicht auf die meisten Mathematiker bezieht, da die meisten Mathematiker wahrscheinlich gar nicht wissen, worum es geht. Aber auch von der Logik her. Müsste es nicht eher heißen "Die meisten Mathematiker (die in der Materie beheimatet sind) hatten erwartet, dass es nicht gelingt die Gleichheit von p und t zu beweisen."?

Aber vielleicht sehe ich da auch etwas falsch. Zweifellos ist Shelah einer der begnadetsten zeitgenössischen Mathematiker.



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asdfusername
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-10-14


@StrgAltEntf: Ich habe das Gefühl, in der Mengenlehre sind Wahrheits-Platonisten gar nicht so selten anzutreffen. Diese haben unter Umständen trotz der Unentscheidbarkeit gewisser Sätzen ein Gefühl dafür, ob diese Sätze wahr sind oder nicht. Wenn jetzt ein solcher Platonist denkt, dass |p|<|t| (und die ZFC-Axiome für wahr hält), dann ist das (aus dessen Sicht) ein Argument dafür, dass das Verhältnis zwischen |p| und |t| nicht entscheidbar ist.
In diesem Sinne denke ich schon, dass "dass p kleiner sein würde als t und ihr Verhältnis zueinander somit nicht beweisbar wäre" (zumindest ein bisschen) Sinn ergibt.
Aber ich denke auch, dass sich mit solchen mengentheoretischen Fragen nur die wenigsten Mathematiker beschäftigen – aber bei so einem populärwissenschaftlichen Artikel sollte man vielleicht nicht jedes Wort auf die Goldwaage legen  wink



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