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Mathematik » Stochastik und Statistik » Definitionen von diskreten Zufallsvariablen
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Universität/Hochschule Definitionen von diskreten Zufallsvariablen
SwizzoR
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-16


Hallo!

In einer Vorlesung wurde das Folgende definiert:

---

diskrete Zufallsvariable: X kann nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annehmen. In jedem endlichen Intervall der reellen Zahlengeraden liegen nur endlich viele der genannten Werte.

---

Ich verstehe nicht, in wie fern der 2. Satz zum 1. passt.
Wenn X doch abzählbar unendlich viele Werte annehmen darf, warum liegen dann in jedem endlichen Intervall der reellen Zahlen nur endlich viele der genannten Werte? Die rationalen Zahlen sind doch abzählbar unendlich, und in jedem endlichen Intervall der reellen Zahlen, welches mindestens 2 Elemente beinhaltet, liegen abzählbar unendlich viele rationale Zahlen und nicht endlich viele.

Unter hier steht z. B. auch: Eine Zufallsvariable wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt oder etwas Allgemeiner, wenn ihre Verteilung eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist.

Dort steht nichts von endlich vielen Werten in endlichen reellen Intervallen. Es wäre nett, wenn mich jemand aufklären könnte.

Grüße



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-16


Gemeint, aber nicht klar gesagt, ist höchstwahrscheinlich, dass die Menge der möglichen Werte mit der von <math>\mathbb{R}</math> geerbten Topologie ein diskreter topologischer Raum ist.

Etwas weniger hochtrabend: dass jeder dieser Punkte eine Umgebung hat, in der kein anderer der Punkte liegt.



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SwizzoR
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-16


@darkhelmet

aber ist nicht jede rationale Zahl Häufungspunkt der rationalen Zahlen?

Grüße



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sibelius84
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-16


Hallo zusammen,

also, natürlich ist jede rationale Zahl Häufungspunkt der rationalen Zahlen. Was du meinst, ist vermutlich, dass jede reelle Zahl Häufungspunkt der rationalen Zahlen ist. Also: Zu jeder reellen Zahl gibt es eine Folge rationaler Zahlen, die dagegen konvergiert. (Der Beweis ist fast trivial, wenn man die abbrechende Dezimalbruchentwicklung

<math>\frac{\floor{10^nx}}{10^n}</math>

betrachtet.)
(EDIT: mist, habs mit dem LaTeX nicht hinbekommen. Um den Zähler sollte eine Gaussklammer drum.)

Nun, sagen wir mal, du hättest nun eine Zufallsvariable, die in einem reellen Intervall unendlich viele Werte hat. Dann gäbe es (da wohl von beschränkten Intervallen die Rede ist - oder?) nach Bolzano-Weierstrass eine konvergente Teilfolge, die also gegen irgendeinen Wert konvergiert. Wenn das betrachtete Intervall abgeschlossen ist, liegt der Grenzwert mit drin:

<math> y_n := X(\omega_n) \stackrel{n\to\infty}\longrightarrow X(\omega_0) =: y</math>.

In jeder beliebig kleinen Umgebung von y befänden sich dann weitere Werte der Zufallsvariablen. Das dürfte sich mit gewissen Eigenschaften, die diskrete ZV eigentlich haben "sollten", nicht vertragen.

Grüße
sibelius84



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-10-16


2017-10-16 18:36 - SwizzoR in Beitrag No. 2 schreibt:
... ist nicht jede rationale Zahl Häufungspunkt der rationalen Zahlen?
Hi SwizzoR,
ja, sogar jede reelle Zahl ist Häufungspunkt der Menge der rationalen Zahlen.
Das Beispiel soll zeigen, dass eine Zufallsvariable, die alle rationalen Werte annehmen kann, im Sinne der vorgelegten Definition nicht diskret ist.
Gruß Buri



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SwizzoR
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-16


Dann habe ich die Definition wohl falsch verstanden. Ich dachte, dass Satz 2 eine FOLGERUNG aus 1 wäre und nicht eine weitere FORDERUNG. Dann frage ich mich jedoch, wie das mit der Definition auf Wikipedia vereinbar ist? Dort steht ja nun nur "Eine Zufallsvariable wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt oder etwas Allgemeiner, wenn ihre Verteilung eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist." und nicht die weitere FORDERUNG aus Satz 2.

Grüße



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-10-16


Doch. Die Menge der rationalen Zahlen ist nicht diskret.

Der zweite Satz ist echt stärker als der erste Satz. Zu glauben, dass der zweite Satz aus dem ersten folgt, wäre schon ein grober Schnitzer. Darum wäre meine Vermutung, dass nicht alle abzählbaren Mengen als Bildmenge zugelassen sein sollen.

Aber ich weiß es nicht. Mein Vorschlag erfüllt auch nicht, dass in jedem beschränkten Intervall nur endlich viele Werte liegen, wie ich gerade merke.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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SwizzoR
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-16


@darkhelmet, das ist eben mein Problem, dass ich Satz 1 und 2 nicht vernünftig in Verbindung bringen kann. Dass Satz 2 aus Satz 1 folgt, ist offensichtlich falsch, aber die Formulierung innerhalb der deutschen Sprache klang für mich so. Und, da Satz 2 stärker als Satz 1 ist, verstehe ich nicht, warum Satz 1 dann überhaupt niedergeschrieben wird? Nichtsdestotrotz steht von Satz 2 nichts auf Wikipedia - unterm Strich habe ich einfach keine Ahnung, wie all dies gemeint ist.



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-10-16


Wikipedia ist großartig, aber man kann es nicht als Standard betrachten, auf den sich alle Mathematiker geeinigt haben. Es gibt an vielen Stellen in der Mathematik Begriffe, für die nicht alle Mathematiker die gleiche Definition haben.

Ansonsten ist deine Verwirrung berechtigt. Wir können das nicht klären. Du kannst deinen Dozenten fragen.



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SwizzoR
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-16


@darkhelmet, das habe ich in der Vorlesung getan, er konnte mir die Frage jedoch nicht beantworten...



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-10-16


Schlecht.

Die Wahrscheinlichkeit ist dann aber sehr groß, dass diese Unklarheit für die Vorlesung keine Rolle spielen wird, weil alle vorkommenden unendlichen Wertemengen (insb. <math>\mathbb{N}</math>) Satz 2 erfüllen werden. Ich würde, in diesem konkreten Fall, die Frage erstmal beiseite schieben.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-10-16


Ich habe mal ein paar Skripte von deutschen Universitäten gegoogelt. Einig scheint man sich nicht zu sein.

Uni Ulm:
Die Zufallsvariable X (bzw. ihre Verteilung) heißt diskret, falls es eine abzählbare Teilmenge <math>C\subset \mathbb{R}</math> gibt, so dass <math>P(X\in C) =1</math>.

Uni Münster:
Diskrete Zufallsvariable: Der Wertebereich der Zufallsvariablen besteht aus diskret auf der Zahlengeraden liegenden Zahlen <math>x_1, x_2, ... </math>

Uni Bonn:
Eine diskrete Zufallsgröße nimmt nur endlich viele Werte oder abzälbar unendlich viele Werte an.

Uni Dresden:
Eine Zufallsvariable, die nur endlich viele Werte oder abzählbar unendlich viele Werte annehmen kann, heißt diskrete Zufallsvariable.

Uni Köln:
Diskrete Zufallsvariablen haben entweder endlich viele oder abzählbar unendlich viele Ausprägungen.

Uni Karlsruhe:
Eine Zufallsvariable ist diskret, wenn die Variable x nur endliche viele Werte annehmen kann, die jeweils eine positive Wahrscheinlichkeit aufweisen.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2017-10-16


2017-10-16 20:37 - StrgAltEntf in Beitrag No. 11 schreibt:
Uni Karlsruhe:
Eine Zufallsvariable ist diskret, wenn die Variable x nur endliche viele Werte annehmen kann, die jeweils eine positive Wahrscheinlichkeit aufweisen.

Nachtrag:

Ich möchte gar nicht unterstellen, dass jeder Karlsruher Mathematiker diese Auffassung vertritt. Aber nach dieser Definition wäre sogar eine auf dem Intervall [0,1] gleichverteilte Zufallsvariable X diskret. Denn X nimmt dann jeden Wert mit der W'keit 0 an.



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2017-10-17


2017-10-16 22:23 - StrgAltEntf in Beitrag No. 12 schreibt:
... nach dieser Definition wäre sogar eine auf dem Intervall [0,1] gleichverteilte Zufallsvariable X diskret.
Hi StrgAltEntf,
dann hast du die Definition anders interpretiert, als ich es tue.
Gemeint ist
Eine Zufallsvariable ist diskret, wenn die Variable x nur endlich viele Werte annehmen kann, und diese jeweils eine positive Wahrscheinlichkeit aufweisen.
Das, was dasteht, nämlich
Eine Zufallsvariable ist diskret, wenn die Variable x nur endlich viele Werte annehmen kann, die jeweils eine positive Wahrscheinlichkeit aufweisen.
kann aber nicht gemeint sein, denn das würde heißen, dass die Anzahl der Werte, die eine positive Wahrscheinlichkeit aufweisen, endlich ist, und das ist kompletter Unfug, wie du mit deinem Beispiel richtig festgestellt hast.
Gruß Buri



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2017-10-17


2017-10-17 22:40 - Buri in Beitrag No. 13 schreibt:
Gemeint ist
Eine Zufallsvariable ist diskret, wenn die Variable x nur endlich viele Werte annehmen kann, und diese jeweils eine positive Wahrscheinlichkeit aufweisen.

Hallo Buri,

dass es anders gemeint als geschrieben ist, glaube ich gern. Aber mit deiner wohlwollenden Interpretation wird es m. E. auch nicht besser.

Denn dann wäre etwa das Ergebnis des Wurfs eines gezinkten Würfels mit der Wertemenge {1, 2, 3, 4, 5, 6}, der niemals eine 6 wirft, KEINE diskrete ZV.

Grüße
StrgAltEntf



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2017-10-21


2017-10-17 23:19 - StrgAltEntf in Beitrag No. 14 schreibt:
... mit deiner wohlwollenden Interpretation wird es m. E. auch nicht besser.
Hi StrgAltEntf,
das sehe ich ein und ziehe meine Interpretation zurück.
Ich wollte ja nur verhindern, dass man die Gleichverteilung zu den diskreten Verteilungen zählt.
Nun fällt mir gar nichts mehr ein, wie man es denn nun richtig machen sollte, anscheinend sind hier mehrere Irrwege beschritten worden.
Gruß Buri



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sibelius84
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2017-10-22


Hallo zusammen,

ein paar Gedanken dazu:

Zum Einen haben wir es hier meiner Meinung nach verstärkt mit einem Sprachproblem zu tun. Im Englischen gibt es ja praktischerweise die 'defining relative clauses', ohne Komma, etwa "The person who wrote the initial post is called SwizzoR". Ohne "who wrote the initial post" könnte man nicht verstehen, um welche Person es sich handelt. Und es gibt die 'non-defining relative clauses', wie "Banach's fixed point theorem, which has numerous interesting applications, is an important theorem in metric spaces". Man könnte den Relativsatz auch weglassen und es wäre trotzdem noch klar, worum es geht.

Nun wäre also die Frage:
A random variable X is discrete if it has finitely or countably many values which have positive probability.
ODER
A random variable X is discrete if it has finitely or countably many values, which have positive probability.

(Ich hatte Buris Gegenüberstellung auf Deutsch zunächst nicht verstanden - kann aber auch an der Uhrzeit und meiner Verfassung liegen.)

Wenn man dieses 'countably' noch einfügt, passt doch das zweite, oder? Sowohl Gleichverteilung (-> nicht erfüllt) als auch geometrische Verteilung (-> erfüllt) bestehen die Probe aufs Exempel. Ok, der gezinkte Würfel mit P(6)=0 wieder nicht. Vielleicht den Relativsatz einfach weglassen?

Sind nicht die zitierten Definitionen mit Ausnahme der Karlsruher alle ok und sinnvoll? (Oder hab ich was nicht verstanden?) ...sind die eigentlich äquivalent?

Grüße
sibelius84



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2017-10-22


2017-10-22 00:00 - sibelius84 in Beitrag No. 16 schreibt:
Sind nicht die zitierten Definitionen mit Ausnahme der Karlsruher alle ok und sinnvoll?
Hi sibelius,
ich denke, nein.
Mir scheint, die beste Definition ist die von der Universität Münster.
Die Abzählbarkeit des Wertebereichs ist dann eine Folgerung, es ist nicht nötig, diese ausdrücklich zu fordern.
Ich sehe die folgenden Schwäche bei den im Beitrag No. 11 mitgeteilten Definitionen (außer der von der Uni Münster):
Es wird zugelassen, dass die Variable nur rationale Werte annimmt, solch eine Variable muss aber nicht diskret sein.
Die Definition der Uni Münster hat auch den Vorteil, dass sie sich auf Variablen mit Werten in einem topologischen Raum verallgemeinern lässt, in diesem Fall ist die Abzählbarkeitsforderung nicht sinnvoll und sollte weggelassen werden.
Gruß Buri



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2017-10-22


2017-10-22 00:00 - sibelius84 in Beitrag No. 16 schreibt:
Sind nicht die zitierten Definitionen mit Ausnahme der Karlsruher alle ok und sinnvoll? (Oder hab ich was nicht verstanden?) ...sind die eigentlich äquivalent?

Münster tanzt wohl auf jeden Fall aus der Reihe, weil dort die Werte diskret auf der Zahlengerade liegen sollen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]



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sibelius84
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2017-10-22


Ok, ergibt Sinn! Das beinhaltet auch eine schöne Verknüpfung der Begriffe "diskrete ZV" und "diskrete Menge". :-)

Aber welche "interessante" nicht-diskrete (also kontinuierliche?) ZV nimmt denn nur rationale Werte an? Gibt es nicht immer ein reelles Intervall mit strikt positiver Wahrscheinlichkeit?



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2017-10-22


2017-10-22 21:39 - sibelius84 in Beitrag No. 19 schreibt:
1. ... welche "interessante" nicht-diskrete (also kontinuierliche?) ZV nimmt denn nur rationale Werte an?
2. Gibt es nicht immer ein reelles Intervall mit strikt positiver Wahrscheinlichkeit?
Hi sibelius84,
1. Solch eine Variable kann man leicht konstruieren.
Man nimmt eine konvergente Reihe Σpn aus nichtnegativen Zahlen mit der Summe 1, wählt eine Abzählung q1,q2,...,qn,... der rationalen Zahlen und lässt die Variable mit Wahrscheinlichkeit pn den Wert qn annehmen. Wirklich interessant ist solch eine Variable natürlich nicht, sie eignet sich nur als Beispiel.
2. ja, aber was willst du damit aussagen oder beweisen?
Gruß Buri



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sibelius84
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2017-10-25


Hallo Buri,

das unter 1. ist als Beispiel interessant. Ihr hattet vorher (mir einleuchtend) erörtert, dass dein Beispiel nicht als diskrete Zufallsvariable durchgehen sollte. Nun, eine stetige ZV ist das aber auch nicht, da sie keine stetige Verteilungsfunktion besitzt (oder?). Also wäre es einfach eine nicht-stetige ZV über einem nicht-diskreten W-Raum?  confused
Und - ok, fürs reine Beispiel irrelevant - aber irgendwie würde mich doch stören, dass man selbst bei bekannter Folge wie etwa p_n=(1/2)^(n+1) und explizit bekannter Abzählung (?) wohl keine Chance hätte, so etwas wie P(3<X<9) zu ermitteln.

Beim 2. habe ich wohl Werte und Wahrscheinlichkeiten der ZV etwas verwechselt, versuche es aber zu retten: Bei einer stetigen ZV im obigen Sinne existiert doch immer ein reelles Intervall, sodass jedes Teilintervall positive Wahrscheinlichkeit hat, oder? Da jedes [mehr als einpunktige] reelle Intervall überabzählbar ist, wäre dann die als Konsequenz seiner Diskretheit zu folgernde Abzählbarkeit des Bildes verletzt.

Grüße
sibelius84



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