Die Mathe-Redaktion - 22.11.2017 08:05 - Registrieren/Login
Auswahl
Schwarzes Brett
Fragensteller hat Anwort gelesen, aber bisher nicht weiter reagiert2017-11-22 00:56 bb
Matheformeln mit MathML
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden oder den Newsletter bestellen.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 429 Gäste und 8 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionalanalysis » Homogenitätsgrad der Fourier-Transformation einer temperierten Distribution
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Homogenitätsgrad der Fourier-Transformation einer temperierten Distribution
Dukkha
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 07.01.2014
Mitteilungen: 420
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-18


Hallo zusammen,

Ich verstehe einen Schritt im Beweis dieser Aussage nicht:

Theorem: "If <math>T</math> is a tempered distribution which is homogenous of degree <math>a</math>, then its Fourier transform is homogenous of degree <math>-n-a</math>"

Proof: "Let <math>\phi_{\lambda}(x) = \lambda^{-n}\phi(\lambda^{-1}x)</math> then by definition of Fourier transform for <math>T</math> And by using

<math>\displaystyle (1.18)\qquad \text{if } g(x)=\lambda^{-n}f(\lambda^{-1}x),\text{ then } \hat{g}(\xi)=\hat{f}(\lambda\xi)</math>
we have
<math>\hat{T}(\phi_\lambda)=T(\hat{\phi}(\lambda\cdot))=\lambda^{-n}T(\hat{\phi}_{\lambda^{-1}})=\lambda^{-n-a}T(\hat{\phi})=\lambda^{-n-a}\hat{T}(\phi)\\
</math>"

Ich habe die Schritte versucht zu nachvollziehen:
<math>\hat{T}(\phi_\lambda)=T(\hat{\phi_\lambda})=T(\hat{\lambda^{-n}\phi(\lambda^{-1}x}))=\lambda^{-n}T(\phi\hat{}(\lambda^{-1}x))\\
</math>

und

<math>\displaystyle \lambda^{-n}T(\phi\hat{}(\lambda^{-1}x))\stackrel{(*)}{=}\lambda^{-n}T(\lambda\hat{\phi})=\lambda^{-n-a}T(\hat{\phi})=\lambda^{-n-a}\hat{T}(\phi)</math>

Allerdings verstehe ich den Schritt bei <math>(*)</math> nicht.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 44782
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-18


Hi Dukkha,
es wird in dem (formalen) Integral, das die Anwendung der Distribution definiert, eine Substitution z = λ-1x vorgenommen.
Solch eine Substitution hat dieselben Eigenschaften wie bei gewöhnlichen Integralen. Der Term rechts von dem (*) ist dann ein (formales) Integral über z. Es ist schwierig, den genauen Sachverhalt in der Schreibweise zum Ausdruck zu bringen, man möchte ja vermeiden, ein Integralzeichen hinzuschreiben.
Gruß Buri



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dukkha
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 07.01.2014
Mitteilungen: 420
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-18


Hi Buri,

Achso. Ich habe mit der Notation ein bisschen Mühe, mit <math>\displaystyle \phi_{\lambda^{-1}}</math> ist schon <math>\displaystyle \lambda^{n}\phi(\lambda x)</math> gemeint? Und <math>\hat{\phi}(\lambda \cdot)</math> steht für die Fourier-Transformation von <math>\displaystyle \lambda^{-n}\phi(\lambda^{-1} x)</math>? Irgendwie verwirrt mich dieser Punkt dort.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 44782
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-21


2017-10-18 23:30 - Dukkha in Beitrag No. 2 schreibt:
... verwirrt mich dieser Punkt dort.
Hi Dukkha,
auch ich habe Mühe, mit der Bezeichnung klarzukommen. Es ist alles nicht so richtig überzeugend, was da steht. Der Punkt steht für die Variable, bezüglich derer die Distributions-Anwendung erfolgt. Falls die Distribution durch ein Integral definiert ist, ist die Integrationsvariable gemeint.
Gruß Buri



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 

 AQA

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2017 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]