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Logik, Mengen & Beweistechnik » Induktion » Mengengleichheit induktiv zeigen
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Universität/Hochschule J Mengengleichheit induktiv zeigen
Etrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-19


Hallöchen,

ich hoffe das passt alles so mit der Zuweisung meiner Frage.

Ich hab gerade mit meinem Studium der Informatik angefangen und die erste Übung in Diskrete Strukturen bereitet mir gerade ein bisschen Kopfzerbrechen.

Sollen induktiv zeigen dass M1=M2

M1 ist dabei definiert durch
- 3 Element von M1, 4 Element von M1
- Falls m Element von M1, so auch m+3 Element von M1 sowie m+5 Element von M1

M2 ist definiert durch:
- {3,4,8} Teilmenge von M2
- Falls m Element von M2, so auch m+3 Element von M2

Ich habe schon Festgelegt, dass die Menge der ganzen, der rationalen und der Reellen Zahlen kein Element der Mengen sind, x<3 kein Element ist und 5 kein Element der Mengen ist.

Wie zeige ich denn induktiv, dass M1=M2?

Liebe Grüße

Etrix



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-19


Beide Mengen scheinen mit <math>\{n \in \mathds{N} : n \geq 3\} \setminus \{5\}</math> übereinzustimmen.



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Etrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-20


2017-10-19 23:35 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Beide Mengen scheinen mit <math>\{n \in \mathds{N} : n \geq 3\} \setminus \{5\}</math> übereinzustimmen.

Ja, sie stimmen beide damit überein.

Was heißt jetzt noch induktiv zeigen, oder war das schon deine Schreibweise?

Vielen Dank für die Hilfe!



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-20


Beide Mengen sind ja induktiv definiert. Um also die Gleichheit zu der dritten Menge zu zeigen, muss man die induktive Definition heranziehen. Aber ich denke, dass der Aufgabensteller keine dritte Menge zulassen wollte; ob das sinnvoll ist, möchte ich nicht beurteilen.



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-10-20



M1 ist dabei definiert durch
- 3 Element von M1, 4 Element von M1
- Falls m Element von M1, so auch m+3 Element von M1 sowie m+5 Element von M1
M1 soll die _kleinste_ Menge mit diesen Eigenschaften sein. Wenn du also
- 3 Element von M2, 4 Element von M2
- Falls m Element von M2, so auch m+3 Element von M2 sowie m+5 Element von M2
zeigst, hast du eine Hälfte, nämlich <math>M_1 \subseteq M_2</math>.

Und andersrum:

M2 ist definiert durch:
- {3,4,8} Teilmenge von M2
- Falls m Element von M2, so auch m+3 Element von M2
M2 soll die _kleinste_ Menge mit diesen Eigenschaften sein. Wenn du also
- {3,4,8} Teilmenge von M1
- Falls m Element von M1, so auch m+3 Element von M1
beweist, hast du die andere Hälfte, nämlich <math>M_2 \subseteq M_1</math>.

Wirklich schön geht das aber nicht, glaube ich.
Einfacher ist wohl <math>\forall n > 5.\ n \in M_1</math>, <math>\forall n > 5.\ n \in M_2</math> und <math>\forall n \leq 5.\ n\in M_1 \Leftrightarrow n\in M_2</math> zu zeigen; die ersten beiden durch starke Induktion, das dritte durch Betrachten der 6 Fälle.



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Etrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-20


2017-10-20 10:49 - tactac in Beitrag No. 4 schreibt:

M1 ist dabei definiert durch
- 3 Element von M1, 4 Element von M1
- Falls m Element von M1, so auch m+3 Element von M1 sowie m+5 Element von M1
M1 soll die _kleinste_ Menge mit diesen Eigenschaften sein. Wenn du also
- 3 Element von M2, 4 Element von M2
- Falls m Element von M2, so auch m+3 Element von M2 sowie m+5 Element von M2
zeigst, hast du eine Hälfte, nämlich <math>M_1 \subseteq M_2</math>.

Und andersrum:

M2 ist definiert durch:
- {3,4,8} Teilmenge von M2
- Falls m Element von M2, so auch m+3 Element von M2
M2 soll die _kleinste_ Menge mit diesen Eigenschaften sein. Wenn du also
- {3,4,8} Teilmenge von M1
- Falls m Element von M1, so auch m+3 Element von M1
beweist, hast du die andere Hälfte, nämlich <math>M_2 \subseteq M_1</math>.

Wirklich schön geht das aber nicht, glaube ich.
Einfacher ist wohl <math>\forall n > 5.\ n \in M_1</math>, <math>\forall n > 5.\ n \in M_2</math> und <math>\forall n \leq 5.\ n\in M_1 \Leftrightarrow n\in M_2</math> zu zeigen; die ersten beiden durch starke Induktion, das dritte durch Betrachten der 6 Fälle.


Das einzige was mich extrem verwundert ist, dass wir bisher die Induktion nicht angeschnitten haben in der Vorlesung. Wir haben besprochen wie man Mengengleichheit beweist mit der Tautologie p<=>q≡(p=>q)^(q=>p).

Ich weiß ja im Studium wird das nicht vorgekaut wie in der Schule (begrüße ich durchaus), nur dachte ich, dass in den Hausaufgaben dann eher Stoff aus der Vorlesung aufgegriffen wird.

Ich versteh die Induktion wenn man alle natürlichen Zahlen mit einbezieht und n=1 ist und man beweisen soll, dass n+1 stimmt. Aber alles darüber hinaus ist für mich grad extrem schwierig nachzuvollziehen geschweige denn selbst aufzustellen.

Wie kann ich denn beweisen, dass <math>\forall n > 5.\ n \in M_1</math>, <math>\forall n > 5.\ n \in M_2</math>?

Ich muss da doch dann irgendwie auch das n+3 und n+5 unterbringen und da kapier ich grad nicht, wie das in die Induktion soll. Alles über 5 geht ja theoretisch auch mit n+1, aber darf ich die Annahme einfach so aufstellen?

Liebe Grüße



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-10-20


Okay, wenn du nur normale Induktion (also mit P(0) und P(n) -> P(n+1)) verwenden kannst oder willst, kannst du das so tun:
Statt
    <math>\forall n>5.\ n\in M_1</math>
zeigst du
    <math>\forall n.\ 6+n\in M_1</math>.
Das wiederum zeigst du als Korollar von
    <math>\forall n.\ (6+n\in M_1) \land (7+n\in M_1)\land (8+n\in M_1)</math>.
Und das geht ganz straight-forward mit normaler Induktion.
Analog für <math>M_2</math>.



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-10-20


Ich würde hier M1 und M2 separat und ohne Induktion bestimmen. Die Bestimmung von M1 ist dabei nur eine spezielle Instanz des sog. Briefmarkenproblems (auch Problem des Frobenius genannt), die von M2 aber trivial, da man für jede Restklasse mod 3 einen Repräsentanten hat und es für die Zahlen <math>n\ge 3</math> daher von vornherein nur ganz wenige Ausnahmen hinsichtlich der Darstellbarkeit geben kann, die man im wahrsten Sinne des Wortes an den Fingern einer Hand abzählen kann.  biggrin



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Etrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-20


2017-10-20 12:18 - tactac in Beitrag No. 6 schreibt:
Okay, wenn du nur normale Induktion (also mit P(0) und P(n) -> P(n+1)) verwenden kannst oder willst, kannst du das so tun:
Statt
    <math>\forall n>5.\ n\in M_1</math>
zeigst du
    <math>\forall n.\ 6+n\in M_1</math>.
Das wiederum zeigst du als Korollar von
    <math>\forall n.\ (6+n\in M_1) \land (7+n\in M_1)\land (8+n\in M_1)</math>.
Und das geht ganz straight-forward mit normaler Induktion.
Analog für <math>M_2</math>.

Dankeschön nochmals. Ich probiers mal aus und schau ob ich es hinbekommen.

2017-10-20 12:49 - weird in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich würde hier M1 und M2 separat und ohne Induktion bestimmen. Die Bestimmung von M1 ist dabei nur eine spezielle Instanz des sog. Briefmarkenproblems (auch Problem des Frobenius genannt), die von M2 aber trivial, da man für jede Restklasse mod 3 einen Repräsentanten hat und es für die Zahlen <math>n\ge 3</math> daher von vornherein nur ganz wenige Ausnahmen hinsichtlich der Darstellbarkeit geben kann, die man im wahrsten Sinne des Wortes an den Fingern einer Hand abzählen kann.  biggrin

Wir sollen die Mengengleichheit ja induktiv nachweisen, deshalb muss ich denke ich auf eine Induktion zurück greifen. Trotzdem vielen Dank für den Ansatz. Ist sehr gut verständlich smile



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