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Physik » Schwingungen und Wellen » Gekoppelte Pendel
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Universität/Hochschule J Gekoppelte Pendel
Sito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-19


Guten Abend zusammen.

Wir betrachten ein System aus zwei identischen Pendeln der Länge <math>l_1 = l_2 = l</math> mit Massen <math>m_1 = m_2 = m</math> im homogenen Schwerefeld mit Beschleunigung <math>g</math>. Die Pendel bewegen sich beide in einer Ebene, und der (kleine) Auslenkungswinkel der Pendel relativ zur Vertikalen wird mit <math>\theta_1</math> und <math>\theta_2</math> bezeichnet. Weiterhin sind die Pendel durch eine masselose Feder gekoppelt, deren Länge gleich dem Abstand der Aufhängepunkte ist. Wir de nieren <math>\omega_g^2 = g/l</math> und <math>\omega_s^2 = k/m</math>.

Die Aufgabe ist es nun die Eigenschwingungen zu ermitteln. Da ich leider nicht wirklich einen Ansatz für das Problem hatte habe ich mich im Internet etwas umgesehen und bin dort auf einen Ansatz der Form <math>\displaystyle{q_1\choose q_2}={A_1\choose A_2}e^{i \omega t}</math> gestossen. Die Idee ist also, dass die Pendel mit gleicher Frequenz, aber verschiedener Amplitude schwingen, oder? Ich verstehe leider nicht inwiefern das nun auf die Problemstellung bezogen eine sinnvolle Annahme ist.

Der nächste Schritt ist es wohl den Ansatz in die EOM's zu stecken und etwas umzuformen bis man etwas in der Form <math>{q_1\choose q_2} = B \cdot {A_1 \choose A_2}</math> hat, mit <math>B\in M_{2\times 2} (\mathbb{C})</math>. Danach soll man <math>{\rm{det}}(B)=0</math> berechnen und so <math>\omega</math> bestimmen, was dann die Frequenzen der Eigenschwingungen liefert... Leider verstehe ich hier auch nicht inwiefern es sinnvoll ist hier die Determinante zu berechnen, bzw. sie gleich Null zu setzen.. Was sagt das genau aus?

Irgendwie ist mir das Ganze ziemlich fremd, hoffe jemand kann mich hier etwas aufklären.

Gruss Sito



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-20


Hallo Sito,

Die Idee ist also, dass die Pendel mit gleicher Frequenz, aber verschiedener Amplitude schwingen, oder? Ich verstehe leider nicht inwiefern das nun auf die Problemstellung bezogen eine sinnvolle Annahme ist.

Falls das nicht aus physikalischer Anschauung begründbar ist, wäre es glaube ich sinnvoll, erst einmal die Bewegungsgleichungen hinzuschreiben und dann zu schauen, was sich daraus an mathematischen Lösungsansätzen ergibt...

grüsse aus dem verregneten Harz
gonz



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Sito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-20


Zuerst mal Danke für die Antwort gonz!

Also die Bewegungsgleichungen habe ich mir natürlich auch schon angeschaut, aber wirklich herauslesen kann ich es aus diesen auch nicht wirklich.

<math>\ddot{\theta}_1=-\omega_g^2 \theta_1 - \omega_s^2(\theta_1-\theta_2)\\
\ddot{\theta}_2=-\omega_g^2 \theta_2 + \omega_s^2(\theta_2-\theta_1)</math>
wobei <math>\omega_s,\omega_g</math> so definiert sind wie in im ersten Beitrag geschrieben.

Gruss Sito



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-20


Das sieht schonmal gut aus :)

Da es ein DGL System zweiter Ordnung zweier Funktionen ist, weisst du auch, dass du vier Basislösungen bekommen wirst ( aus denen sich dann die von Physikern gerne mal "Eigenmoden" genannten Schwingungsbilder ergeben). Dazu kannst du dann nach Fahrplan vorgehen, das als Matrixgleichung schreiben, die Exponenten der sich ergebenden Exponentialfunktionen über die charakteristische Gleichung bestimmen, dann eben den Ansatz über die Exponentialfunktion machen etc.

Du kannst sie aber eigentlich auch aus phys. Anschauung einfach finden, indem du dir einfache Fälle überlegst, wie das Gebilde schwingen könnte. Das finde ich an sich schöner ( auch wenn es ggf. nicht die zur Aufgabe gegebenen Tips benutzt). Du weisst dann, dass du "fertig" bist, wenn du vier linear unabhängige Lösungen gefunden hast (weil es sich eben um ein homogenes, lineares DGL System handelt).

Diese beiden Fälle könnte man sich gut im Experiment anschauen. Überlege dir mal was passiert wenn du

a) beide Pendel jeweils "nach aussen" auslenkst um denselben Betrag und dann loslässt,

oder

b) beide Pendel nach links um denselben betrag auslenkst und dann loslässt :)

Damit bekommst du zwei Schwingungen als Lösung, und diese ergeben jeweils zwei Basislösungen ( da sie als sin- und als cos- Schwingung auftreten können).

mathematisch wäre es in dieser Richtung auch möglich, weiterzukommen. da beide lösungen ja auf Symmetrien beruhen, liegt es nahe, den abstand der beiden pendel als neue Variable zu substituieren und den Schwerpunkt, also Funktionen einzuführen der form

fed-Code einblenden

ob man das /2 hinzunehmen will ist irgendwie geschacksache, jedenfalls ergibt so Sigma_2 den Schwerpunkt. Ich denke den damit resultierenden Gleichungen sieht man die Lösungen "einfacher an"....

Grüsse
gonz



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Sito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-20


2017-10-20 11:44 - gonz in Beitrag No. 3 schreibt:
Dazu kannst du dann nach Fahrplan vorgehen, das als Matrixgleichung schreiben, die Exponenten der sich ergebenden Exponentialfunktionen über die charakteristische Gleichung bestimmen, dann eben den Ansatz über die Exponentialfunktion machen etc.

Ich bin nicht ganz sicher ob ich dir hier folgen kann. Nehmen wir an ich verwende als Ansatz: <math>{A_1\choose A_2}e^{i\omega t}</math>. Wenn ich das nun in die Bewegungsgleichung einsetzte und etwas umforme kann ich das schreiben als: <math>\displaystyle\underbrace{\begin{pmatrix}\omega²-(\omega_g²+\omega_s²) & \omega_s² \\ \omega_s²& \omega²-(\omega_g²+\omega_s²) \end{pmatrix}}_{=:B}{A_1\choose A_2}={0\choose 0}</math>. Ich nehme an das meinst du mit Matrixgleichung oder? Nach "Fahrplan" vorgehen wäre jetzt <math>{\rm{det}}(B)=0</math> zu setzen und schlicht zu rechnen, oder (wirklich verstehen tue ich hier keinen der Schritte)? btw. habe ich auch etwas von Eigenvektoren gelesen, in diesem Fall wohl <math>(1,1)</math> und <math>(1,-1)</math>. Was ist deren Bedeutung in diesem Fall?

Was den mathematischen Ansatz, also das definieren einer neuen Varaibel (in deinem Bsp. <math>\sigma</math>), habe ich das damit auch schon durchgerechnet, kenne also die Idee dahinter.^^

Nun zur Physik. Das Problem ist hier, dass ich nicht genau weiss was Eigenschwingungen sind und wie sie sich von allen anderen möglichen Lösungen unterscheiden. Ich nehme an, dass deine zwei Beispiele genau diese beiden Eigenschwingungen darstellen, oder?
Bei a) wären wohl die Amplituden vom Betrag her immer gleich gross, aber mit unterschiedlichem Vorzeichen, bei b) wäre sowohl Betrag als auch Vorzeichen gleich. (Ist das der Link zu den Eigenvektoren?)
Was ich aber an dieser Stelle nicht verstehe ist wie man aus diesen Erkenntnissen (also im Physik-Teil) jetzt konkret die Winkelgeschwindigkeit berechnen soll...

Gruss Sito



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-10-20


Ok, das ist viel auf einmal. Fangen wir mal mit dem einfachsten an ( ohne den rest nachher zu vergessen ).

fed-Code einblenden

Das wäre dann die Lösung zum Eigenwert (1,-1), die vierte Lösung ergibt sich wiederum indem einfach statt sin der cos verwendet wird.

Kommst du damit rund? Dann könnten wir den Zweig soweit erstmal abhaken und uns der Welt der Matrizen widmen :)







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Sito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-20


Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Wie man aus dem ersten Fall die Kreisfrequenz bekommt ist mir jetzt klar!

2017-10-20 15:09 - gonz in Beitrag No. 5 schreibt:
Es wäre jetzt sozusagen an dir, das einzusetzen und die gesuchte Kreisfrequnz auszurechnen.

Dann will ich das versuchen:

Also man nehme den Ansatz: <math>\theta_1=A\sin(\omega_x t)</math> und <math>\theta_2=-A\sin(\omega_x t)</math>. In die Bewegungsgleichung für <math>\theta_1</math> eingesetzt ergibt das nach dem kürzen von <math>A</math>:
<math>-\omega_x^2\sin(\omega_x t) = (-\omega_g^2 -2\omega_s^2)\sin(\omega_x t)</math>

Woraus man dann mit einem Koeffizientenvergleich findet: <math>\omega_x = \sqrt{2\omega_s^2 +\omega_g^2}</math>



Kommst du damit rund? dann könnten wir den zweig soweit erstmal abhaken und uns der Welt der Matrizen widmen :)
Naja, ich hoffe mal die Vorgehensweise stimmt so.^^



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-10-20


Ja, genau. und damit kann man die allgemeine Lösung hinschreiben. Dann widmen wir uns dem Weg über die Determinante etc? Oder ist bis hierher noch was zu klären?

:)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-20


2017-10-20 15:50 - gonz in Beitrag No. 7 schreibt:
Ja, genau. und damit kann man die allgemeine Lösung hinschreiben. Dann widmen wir uns dem Weg über die Determinante etc? Oder ist bis hierher noch was zu klären?

:)

Von meiner Seite aus ist alles klar (zumindest bis jetzt).^^



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-10-20


Also zu dem Ansatz mit Matrix :)

Das Gleichungssystem hat nicht-triviale Lösungen genau dann, wenn die Determinante der Matrix Null ist ( das lässt sich ähnlich herleiten wie bei einem LGS ). Damit ist also der Schritt hier tatsächlich, Det(B) hinzuschreiben und gleich Null zu setzen. Da wir hier nur zwei Gleichungen haben, geht das noch ganz gut händisch ( im Falle von drei Gleichungen wäre es mit der "Kramerschen Regel" auch noch händisch machbar ).

Du bekommst damit Werte für die möglichen Eigenfrequenzen - es sollten sich dieselben ergeben wie wir sie bereits oben mit unserem "geratenen" oder "aus der Physik abgeguckten" Ansatz erhalten haben.

Warum man davon ausgeht, dass beide Pendel mit derselben Frequenz schwingen ist mir aktuell auch nicht wirklich klar, andersherum kann man aber am Ende daran, dass man wirklich vier Basislösungen findet, davon ausgehen, dass der Ansatz korrekt war ( da könnte sich ggf. nochmal jemand zu äußern der aus dem Stegreif sagen kann, ob sich das mathematisch zwingend ergibt oder ob es auch physikalisch zu begründen ist).

Jedenfalls könntest du das dann mal durchrechnen :)

Zu den Eigenwerten schreib ich gleich noch was .... ( Schritt für Schritt )


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Sito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-20


2017-10-20 16:23 - gonz in Beitrag No. 9 schreibt:
Jedenfalls könntest du das dann mal durchrechnen :)

Zu den Eigenwerten schreib ich gleich noch was .... ( Schritt für Schritt )

Also dann:

Die Matrix die ich hier verwenden will steht schon in Beitrag drei. Idee war es hier einfach den Ansatz <math>{q_1\choose q_2}={A_1\choose A_2}e^{i\omega t}</math> zu wählen, diesen in die Bewegungsgleichungen einzusetzen und dann eine Matrixgleichung aufzustellen.

Man erhält dann <math>{\rm{det}} B = \omega^4 -2(\omega_g^2-\omega_s^2)\omega^2 +\omega_g^4 -2\omega_g^2\omega_s^2\overset{!}{=}0</math>. Man definiere nun <math>u=\omega^2 \Rightarrow u^2+2(\omega_g^2-\omega_s^2)u+(\omega_g^4-2\omega_g^2\omega_s^2)=0 \Rightarrow u_{1,2}=\omega_s^2\pm \omega_s^2 +\omega_g^2 \Rightarrow \omega_2 = \sqrt{2\omega_s +\omega_g}</math> und <math>\omega_1 =\omega_g</math>.
Funktioniert also wie gewünscht.

Sobald wir das Thema der Eigenwerte/-vektoren abgehandelt haben hätte ich dann aber auch nochmal eine Frage zu einem anderen Ansatz aus meinem Skript... Tut mir Leid wenn ich hier vlt. etwas übertreibe mit Varainten um das Problem zu lösen.^^



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-10-20


Nein ich denke so Fragen zu stellen ist der richtige Weg. Man sollte versuchen mehr zu verstehen als nur die Anwendung des "Rezeptes", und es ist auch deutlich mehr als es sich vorrechnen zu lassen. Alles gut :)


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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2017-10-20


Hallo
EigenfreQenzen eines Systems sind die bei denen die Schwingung immer gleich bleibt
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bis dann, lula


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Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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