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Schulmathematik » Integralrechnung » Rotation <-> Integral
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Universität/Hochschule Rotation <-> Integral
bloebb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-20


Hallo,

ich kämpfe aktuell an einer Formel, die ich Stück für Stück verstehen möchte.

Eines der Probleme, die ich habe, ist das Folgende zu verstehen:

<math>\vec{B} = rot \int \vec{j} = \int (rot \vec{j})</math>

Ich habe hier also einen Rotationsoperator, der mal vor und mal im Integral steht.

rot ist folgendermaßen definiert:

<math>B_x = \frac{\partial}{\partial y}(i_z) - \frac{\partial}{\partial z}(i_y)</math>
<math>B_y = \frac{\partial}{\partial z}(i_x) - \frac{\partial}{\partial x}(i_z)</math>
<math>B_z = \frac{\partial}{\partial x}(i_y) - \frac{\partial}{\partial y}(i_x)</math>

Mit <math>\vec{i} = \int \vec{j}</math>

Daraus soll dann also werden:

<math>B_x = \int [\frac{\partial}{\partial y}(j_z) - \frac{\partial}{\partial z}(j_y)]</math>
<math>B_y = \int [\frac{\partial}{\partial z}(j_x) - \frac{\partial}{\partial x}(j_z)]</math>
<math>B_z = \int [\frac{\partial}{\partial x}(j_y) - \frac{\partial}{\partial y}(j_x)]</math>

Mich würde der Beweis interessieren, dass es erlaubt ist, das rot von außen nach innen zu ziehen.

Könnt ihr mir dabei weiterhelfen? Das ist mir doch leider irgendwie zu kompliziert.



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bloebb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-20


Um alles zu vereinfache, reicht es sicher, sich nur einen Term anzuschauen. Nehmen wir einfach mal den Ersten:

<math>\frac{\partial}{\partial y}[(\int \vec{j})_z] = \int [\frac{\partial}{\partial y}(j_z)]</math>

Ist das richtig so? Wie komme ich nun vom Linken zum Rechten?



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bloebb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-20


Diese Formel ist Teil einer viel komplexeren Formel. Ich weiß nicht, ob es nötig ist, die zu erwähnen. Aber sicherheitshalber mache ich das hier noch.

Die vollständige, komplexe Formel schaut folgendermaßen aus:

<math>\vec{B} = rot [\frac{\mu_0}{4 * \Pi} * \iiint_V (\frac{\vec{j}_{(\vec{R})}}{|\vec{r} - \vec{R}|} * dv)]</math>

bzw:

<math>\vec{B} = \frac{\mu_0}{4 * \Pi} * \iiint_V [rot (\frac{\vec{j}_{(\vec{R})}}{|\vec{r} - \vec{R}|}) * dv]</math>



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bloebb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-20


Jetzt habe ich einen Zwischenschritt eingefügt:

<math>\frac{\partial}{\partial y}[(\int \vec{j})_z] = \frac{\partial}{\partial y}\int j_z = \int [\frac{\partial}{\partial y}(j_z)]</math>

Sollte erlaubt sein, oder? Und darf ich dann auch die y-Ableitung in das z-Integral reinschieben?



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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-10-20


Hallo,

wenn es Physik ist, was ich vermute, dann mußt Du die Gleichung richtig interpretieren.
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Gruß
Juergen

P.S.: Warum hast Du das der Schulmathematik zugeordnet?



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bloebb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-20


Über die physikalische Bedeutung mache ich mir erst dann Gedanken, wenn ich mathematischen Abläufe verstanden habe :)

Stimmen bis jetzt meine Einträge? Also meine Einträge 1, 2 und 4?

P. S. aber wenn wir schon dabei sind bei der physikalischen Bedeutung: Das ist ein Volumsintegral. Also wird es nicht über <math>\vec{R}</math>, sondern über ein Teilvolumen dv integriert, oder?

"Warum hast Du das der Schulmathematik zugeordnet?"

Ich kenn mich hier im Forum noch nicht aus. Wo hätte dieses Thema hingehört? In den Physikbereich habe ich es ganz bewusst nicht reingestellt. Ich kämpfe noch mit dem mathematischen Grundlagen herum, wie man sieht.



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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-10-20


Hallo!

2017-10-20 16:30 - bloebb in Beitrag No. 5 schreibt:
Über die physikalische Bedeutung mache ich mir erst dann Gedanken, wenn ich mathematischen Abläufe verstanden habe :)

Das ist Unsinn. Keine "mathematischen Abläufe" ohne die Physik dahinter, :-)

2017-10-20 16:30 - bloebb in Beitrag No. 5 schreibt:
Stimmen bis jetzt meine Einträge? Also meine Einträge 1, 2 und 4?

Du meinst Deine Beiträge No.1 bis No.3? Die ergeben so keinen Sinn. Selbst Physiker können nur erahnen, was Du hier aufschreiben willst. Besser wäre es gewesen, Du hättest mit Beitrag No.2 begonnen, :-(

2017-10-20 16:30 - bloebb in Beitrag No. 5 schreibt:
...
aber wenn wir schon dabei sind bei der physikalischen Bedeutung: Das ist ein Volumsintegral. Also wird es nicht über <math>\vec{R}</math>, sondern über ein Teilvolumen dv integriert, oder?

Du darfst davon ausgehen, daß mir das bewußt ist. Aber auch Volumenintegrale haben Integrationsvariablen, und die stecken in dem R und nicht im r!

2017-10-20 16:30 - bloebb in Beitrag No. 5 schreibt:
...
In den Physikbereich habe ich es ganz bewusst nicht reingestellt. Ich kämpfe noch mit dem mathematischen Grundlagen herum, wie man sieht.
...

Schade, ein weiterer Irrtum von Dir. Hättest Du es ins Physikforum gestellt, und Begriffe wie Magnetfeld, Vektorpotential, Stromdichte, usw. erwähnt, hätte man Dir auch bei Deinem Kampf mit den mathematischen Grundlagen geholfen, :-)

Hier der Versuch einer Hilfe:
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Das Ganze nennt sich übrigens Elektrodynamik, und die Vektoranalysis der Mathematiker ist nur ein kleines Teilgebiet davon, :-)

Gruß
Juergen



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bloebb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-21 15:49


"Jetzt beachte, daß die Rotation \Nabla \cross auf die Variable r^> wirkt,"

Damit meinst du, dass durch den Ortspunkt, der durch diese Ortsvariable definiert wird, die Rotationsachse verläuft? Und dass dann relativ dazu die rot berechnet wird?

Der Vektor <math>\vec{r} - \vec{r'}</math> zeigt zwar irgendwie in die falsche Richtung, aber nachdem nur mit dessen Betrag gerechnet wird, würde das passen. Das sind einfach alles nur die Radien der diversen Ladungen relativ zum Beobachter, definiert durch <math>\vec{r}</math>.

Habe eine Grafik dazu gemacht, damit alle, die hier mitlesen, auch wissen, was die Sachen alle sein sollen.


"Beide tun sich nichts"

Das ist toll, dass du dir wirklich so viel Mühe gemacht hast. Wirklich, gradios. Aber ich würde die Sache doch gern kühl mathematisch angehen. Sozusagen streng nach mathematischen Regeln.

Du bist mir scheinbar schon um einiges voraus, du scheinst schon ein echtes Gefühl dafür entwickelt zu haben. Aber das fehlt mir noch. Darum würde ich zuerst mal nur gerne die Rechenregeln lernen. War das alles falsch, was ich mir bis jetzt überlegt habe?

P. S. das ist jetzt nicht wichtig, ist mir nur aufgefallen: Das <math>\frac{\mu_0}{4 * \Pi}</math> ist bei dir verloren gegangen. Macht aber nichts, die Formeln kenne ich ja schon alle grundsätzlich, wobei ich allerdings noch nicht alles verstanden habe. Aber wie gesagt: zuerst geht's mir mal nur um die Mathematik. Das hat auch ein Prof gesagt: jeder fragt jeden, aber letztendlich fragen alle die Mathematiker :D





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Phi1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-10-21 16:07


Hi!

Wenn du die Gleichung, die ja in Vektorform gegeben ist, ausschreibst, dann landest du bei einem Integral der Gestalt z.B. <math>\partial_x\int F(R,r(x,y,z))dR</math>. Die Integration und das Differential zu vertauschen ist nun möglich, wenn <math>j</math> gewisse Eigenschaften hat; Stichwort: Parameterintegral!
In deinem Zusammenhang erfüllt <math>j</math> die nötigen mathematischen Voraussetzungen vermutlich.

MfG

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]


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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-10-21 16:23


Hi,

2017-10-20 13:21 - bloebb in Beitrag No. 1 schreibt:
Um alles zu vereinfache, reicht es sicher, sich nur einen Term anzuschauen. Nehmen wir einfach mal den Ersten:

<math>\frac{\partial}{\partial y}[(\int \vec{j})_z] = \int [\frac{\partial}{\partial y}(j_z)]</math>

Ist das richtig so? Wie komme ich nun vom Linken zum Rechten?

das läuft in der Mathematik unter "differentiation under the integral sign", auch manchmal Leibniz-Regel genannt.

Es gibt dazu viele verschiedene Sätze mit unterschiedlichen Voraussetzungen, je nachdem, in welchen Räumen man sich bewegt und welchen Integralbegriff man hat.

Der Wikipedia-Artikel stellt einige davon vor. Diese Seite ist ähnlich.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]



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bloebb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-21 16:40


Auweia. Das hört sich kompliziert an.

Ich werde mir diese Regeln mal anschauen. Vielen Danke euch allen vorerst mal. Ev. muss ich dann irgendwann die nächsten Tage noch etwas nachfragen.

:)



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Phi1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2017-10-21 16:49


So schlimm ist das nicht, da man ja nur die Voraussetzungen überprüfen muss, und in der Physik sind die meistens immer erfüllt, wenn nichts anderes gesagt wird.


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bloebb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-24 14:14


Kennt ihr zufällig ein konkretes, einfaches Beispiel zur Formel von "Three-dimensional, time-dependent case" auf en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule

Ich bin mir unsicher wegen diesem Index t bei <math>F_t</math>.

Und wo kommt das v daher? Das gibt es in der ursprünglichen Formel gar nicht, oder?

Und was ist <math>\oint_{\partial\sum(t)}</math>? Ich vermute, das ist der Rand der Fläche, also eine geschlossene Kurve um die Fläche. Ist das richtig?




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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2017-10-26 22:36


Hallo
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bis dann, lula


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Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2017-10-26 23:38


2017-10-24 14:14 - bloebb in Beitrag No. 13 schreibt:
Kennt ihr zufällig ein konkretes, einfaches Beispiel zur Formel von "Three-dimensional, time-dependent case" auf en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule

Ich bin mir unsicher wegen diesem Index t bei <math>F_t</math>.

Und wo kommt das v daher? Das gibt es in der ursprünglichen Formel gar nicht, oder?

Und was ist <math>\oint_{\partial\sum(t)}</math>? Ich vermute, das ist der Rand der Fläche, also eine geschlossene Kurve um die Fläche. Ist das richtig?

Hi!

Das Integral ist auch bekannt unter dem Reynolds-Transporttheorem. Das v ist das Geschwindigkeitsvektorfeld des Randes der sich in der Zeit bewegenden Fläche. Das andere ist in der Tat das Integral über den Rand der Fläche zu einem bestimmten Zeitpunkt.
Der Klassiker, wo diese Formel in der Physik u.a. vorkommt, ist das Induktionsgesetz <math>U=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Phi(t)=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int\limits_{\Sigma(t)} B(t)</math>. Der Fluss eines zeitabhängigen Magnetfelds durch eine, sich mit der Zeit ändernde Fläche führt zu einer Induktionsspannung. Wenn du das Theorem da einsetzt und neben dem Satz von Stokes 2 der Maxwellgleichungen bemühst, kommst du auf das Integral über die Lorentzkraft.



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bloebb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-28 12:28


2017-10-26 23:38 - Tirpitz in Beitrag No. 15 schreibt:
Der Klassiker, wo diese Formel in der Physik u.a. vorkommt, ist das Induktionsgesetz <math>U=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Phi(t)=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int\limits_{\Sigma(t)} B(t)</math>. Der Fluss eines zeitabhängigen Magnetfelds durch eine, sich mit der Zeit ändernde Fläche führt zu einer Induktionsspannung.

Ich glaube, das sollte etwas anders sein:

<math>U = -\frac{d}{dt}\Phi(t)</math>

<math>\Phi = \iint_A (\vec{B} \cdot d\vec{f})</math>

mit den Flächenelementen <math>d\vec{f}</math> mit <math>\vec{f}</math> als Flächenvektor

<math>U = -\frac{d}{dt}(\iint_A (\vec{B(t)} \cdot d\vec{f}))</math>

Umformung mittels Leibnitz-Regel (wobei ich mir aber noch nicht angeschaut habe, ob man hier wirklich diese verkürzte Variante wählen darf)

<math>U = -(\iint_A (\frac{\partial \vec{B(t)}}{\partial t} \cdot d\vec{f}))</math>

Und die Fläche ist nicht fix??



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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2017-10-28 12:31


2017-10-28 12:26 - bloebb in Beitrag No. 16 schreibt:
---
Nein, ich meine es schon so, wie ich schreibe. Ich benutze nur eben den meiner Meinung nach besseren Differentialform-Kalkül. Ist am Ende aber völlig egal, die Rechnung ist die Selbe.

Die Leibnizregel wendest du gerade nicht an, sondern vertauschst einfach Ableitung und Integral. Wenn schon, dann musst du auch die korrekte Formel verwenden, die du auf Wikipedia schon gefunden hast. Der Witz ist ja gerade, dass die Fläche zeitlich nicht konstant ist.



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bloebb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-28 17:29


Ich finde das verwirrend. Ich habe mir jetzt mal angeschaut, wie der Reynoldsche Transportsatz für eine Volumen und einem Skalarfeld ausschaut. www.mathematik.tu-darmstadt.de/~haller/Skripten/skript_pdgl_sose11.pdf

Die Formel bei Satz 1.1 besteht aus 2 Teilen:

1) Im Volumsintegral beschreibt sie zeitliche Veränderungen im Volumen. Z. B. verändert sich die Dichte der Flüssigkeit im Volumen.

<math>\int_V \frac{\partial \phi}{\partial t} dx</math>

2) Im Flächenintegral beschreibt es, was dem Volumen hinzugefügt wird, bzw. entnommen wird. Z. B. strömt zusätzliche Flüssigkeit in das Volumen hinein.

<math>\int_{\partial V} \phi * \vec{u} \cdot \hat{\vec{n}} * dA</math>

<math>\vec{u}</math> soll die Geschwindigkeit sein.

Sofern ich das soweit richtig verstanden habe, hört sich das für mich so an, als wäre das Volumen ortsfest. Denn würde sich das Volumen mit der Flüssigkeit mitbewegen, wäre der Inhalt konstant. Dann dürfte es gar nicht den zweiten Teil geben.

Also irgendwie verstehe ich hier etwas noch falsch. Kannst du mir bitte noch ein wenig auf die Sprünge helfen?



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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2017-10-28 18:40


Das ist jetzt nicht wirklich mathematisch, soll aber der Anschauung dienlich sein: du hast ein Flüssigkeitsfeld unterschiedlicher Dichte, meinetwegen mit Quellen und Senken. Jetzt betrachtest du ein wobbelndes Volumen, was durch diese Feld wandert und dabei mal Senken und/oder Quellen in sein Gebiet aufnimmt oder abgibt. Jeder Punkt der Oberfläche hat zu einem gewissen Zeitpunkt eine Geschwindigkeit, die du durch den Tangentialvektor beschreibst. Das Integral des ersten Terms <math>\frac{\partial\phi}{\partial t}</math>, die rein zeitliche Dichteänderung, gibt dir also, wie viel Flüssigkeit rein durch diese wo durch auch immer verursachte Dichteänderung pro Zeit zu einem bestimmten Zeitpunkt in dein Volumen gekommen ist. Der zweite Term, der mit der Geschwindigkeit, sagt dir, wie viel Flüssigkeit durch die Bewegung der Oberfläche durch das Dichtefeld in das Volumen gekommen ist - das muss man natürlich integrieren, da sich das Volumen je nach Ort unterschiedlich schnell in unterschiedliche Richtungen bewegen kann. Du kannst aber genau so sagen, das Volumen bewege sich ja gar nicht, sondern die Flüssigkeit selbst bewegt sich und verursacht eine Flussdichte, die durch die feste Oberfläche fließt. In dem Fall ist die Oberflächengeschwindigkeit natürlich 0, aber nicht mehr die Geschwindigkeit der Flüssigkeit, die jetzt genau so fließt, wie vorher das Volumen durch die ortsfeste Flüssigkeit gewandert ist.
Wenn du sagst, die Gesamtmasse der Flüssigkeit über die Zeit ist immer konstant (was etwa in Senken verschwindet, kommt anderswo in Quellen wieder heraus), so kannst du daraus dann das Kontinuitätsgesetz herleiten.



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bloebb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-29 16:34


... wie viel Flüssigkeit durch diese Dichteänderung pro Zeit zu einem bestimmten Zeitpunkt in dein Volumen gekommen ist.

Bist du sicher? Dann würde ich eigentlich (wie beim zweiten Integral) eine Divergenz (also einen div-Operator) erwarten.

Mir kommt das erste Integral eigentlich eher so vor, dass es ausschließlich nur um die Dichteänderung geht. Aber überhaupt nicht darum, ob Flüssigkeit rein- oder rausströmt.

Allerdings muss ich schon zugeben, dass das bei Flüssigkeiten unlogisch ist. Denn unter normalen Verhältnissen verändert sich die Dichte einer Flüssigkeit nicht. Aber davon ist auch im pdf-File die Rede:

... im  Fall  von  inkompressiblen Strömungen wird, d.h. bei Strömungen von Fluiden deren Dichte konstant ist, wie z.B. Wasser. Dann vereinfacht sich (1.3) zu ...



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bloebb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-29 16:34


Du kannst aber genau so sagen, das Volumen bewege sich ja gar nicht, sondern die Flüssigkeit selbst bewegt sich und verursacht eine Flussdichte, die durch die feste Oberfläche fließt.

Das würde bedeuten, die Bewegung würde genau in die entgegengesetzte Richtung verlaufen. Ich habe eine Grafik dazu gemacht. In der linken Spalte bewegt sich das Volumen nach rechts. In der rechten Spalte bewegt sich das Fluid nach links.



Das hast du so gemeint, oder?

Falls ja, muss man das noch irgendwie berücksichtigen? Muss man den Geschwindigkeitsvektor im zweiten Integral noch negieren? Oder muss man die Limits des zweiten Integrals austauschen?



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