Die Mathe-Redaktion - 20.11.2017 23:48 - Registrieren/Login
Auswahl
Schwarzes Brett
Fragensteller hat Anwort gelesen, aber bisher nicht weiter reagiert2017-11-20 21:29 bb
Matheformeln mit MathML
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden oder den Newsletter bestellen.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 615 Gäste und 30 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von viertel GrafZahl
Schulmathematik » Potenzen und Logarithmen » Logarithmus händisch berechnen?
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Logarithmus händisch berechnen?
Landjalan
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.06.2014
Mitteilungen: 70
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-20


hallo,

ich frage mich gerade wie man beliebige logarithmen berrechnen kann :

zum bespiel log_2 (0,4) oder auch log_3(26)

bei log_2 (0,4) koennte ich noch naeherungsweise durch das zeichnen des 2er logarithmus auf die ungefaehre loesung kommen :

log_2(0,5) = -1 also log_2 (0,4) < -1

aber wie kann ich das ergebniss genauer bestimmen, oder halt so etwas wie log_3(26) berrechnen ?

ich weiss das log_3(26) die loesung der gleichung 3^x=26 ist, aber wie kann man so etwas generell berrechnen ?



vielen dank fuer hilfreiche tipps



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
shadowking
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3417
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-20


Hallo Landjalan,

dafür gibt es Reihenentwicklungen, z.B. gilt für den natürlichen Logarithmus:

<math>-\log(1-x)\,=\,\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k}</math>,

sofern <math>|x|<1</math>. Die Konvergenz ist naturgemäß dort am besten, wo <math>x</math> nahe Null ist, da nur wenige Summanden für eine hinreichende Genauigkeit benötigt werden.

Für Dein Beispiel könnte man also ausnutzen:

<math>27\,=\,3^3</math>, also ist

<math>\log_3(26)\,=\,\log_3(27-1)\,=\,\log_3(27)+\log_3(1-1/27)=3+\frac{\log(1-1/27)}{\log(3)}</math>

nach den bekannten Logarithmusgesetzen.

Alternativ könntest Du ein iteratives Verfahren verwenden, indem Du etwa die Gleichung

<math>3^x-26\,=\,0</math>

mittels Newton-Verfahren oder Regula falsi und z.B. dem Startwert <math>x_0\,=\,3</math> solange "löst", bis Dir die Genauigkeit des Näherungswertes hoch genug ist.

Gruß shadowking


-----------------
Niemand ist hoffnungsloser versklavt als der, der fälschlich glaubt frei zu sein.
- Johann Wolfgang von Goethe




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 44781
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-10-21


2017-10-20 22:23 - Landjalan im Themenstart schreibt:
... wie kann man so etwas generell berrechnen ?
Hi Landjalan,
bei Verwendung des Windows-Rechners benutzt man für beliebige Logarithmen die Formel
fed-Code einblenden
Gruß Buri



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cis
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.08.2002
Mitteilungen: 13623
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-21


2017-10-20 22:23 - Landjalan im Themenstart schreibt:
Logarithmus händisch berechnen?

Du kannst Logarithmen -bei Bedarf- auch händisch bzw. elementar, d.h. ohne Kenntnis über Reihenentwicklungen und dergleichen mehr, berechnen.


Nehmen wir als Beispiel <math>\log_2(3)</math>.
[Hier überall ein Punkt statt Dezimalkomma, da LaTeX sonst die Eingabe {,} fordert.]

<math>\log_2(3) =: x  ~\Leftrightarrow~ 2^x = 3</math>. Sei <math>x = a.bcdef\dots</math>



<math>\underline{a:}</math>

<math>2^a \leq 3</math>

<math>\Rightarrow~ 2^1 = 2 < 2^2 = 4 \nleq 3
~~\Rightarrow~  \underline{a = 1}
</math>


<math>\underline{b:}</math>

<math>2^{1.b} \leq 3</math>

<math>\left( 2^{1.b} \right)^{10} \leq 3^{10}
~\Leftrightarrow~ 2^{10+b} = 2^{10} 2^b \leq 3^{10} </math>
<math>\Leftrightarrow~ 2^b \leq \dfrac{3^{10}}{2^{10}} \approx 57.7</math>

<math>\Rightarrow~ 2^5 = 32 < 2^6 = 64 \nleq 57.7
~~\Rightarrow~  \underline{b = 5}</math>


<math>\underline{c:}</math>

<math>2^{1.5c} \leq 3</math>

<math>\left( 2^{1.5c} \right)^{100} \leq 3^{100}
~\Leftrightarrow~ 2^{150+c} = 2^{150} 2^c \leq 3^{100} </math>
<math>\Leftrightarrow~ 2^c \leq \dfrac{3^{100}}{2^{150}} \approx 361.1</math>

<math>\Rightarrow~ 2^8 = 256 < 2^9 = 512 \nleq 361.1
~~\Rightarrow~  \underline{c = 8}</math>


<math>\underline{d:}</math>

<math>2^{1.58d} \leq 3</math>

<math>\left( 2^{1.58d} \right)^{1000} \leq 3^{1000}
~\Leftrightarrow~ 2^{1580+d} = 2^{1580} 2^d \leq 3^{1000} </math>
<math>\Leftrightarrow~ 2^d \leq \dfrac{3^{1000}}{2^{1580}} \approx 31.2</math>

<math>\Rightarrow~ 2^4 = 16 < 2^5 = 32 \nleq 31.2
~~\Rightarrow~  \underline{d = 4}</math>



Zwischenergebnis:  <math>\log_2(3) =: x  = 1.584\dots</math>

Probe: <math>3 = 2^x = 2^{1.584\dots} = 2.9979920\dots</math>


-----------------
Wenn man alles ausgeschaltet hat, was unmöglich ist, bleibt am Ende etwas übrig, das die Wahrheit enthalten muß - mag es auch noch so unwahrscheinlich sein...
(Sherlock Holmes)
·



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Landjalan hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 

 AQA

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2017 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]