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Physik » Thermodynamik & Statistische Physik » Totales Differential
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Universität/Hochschule Totales Differential
Approxxx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-21


Guten Tag,

ich soll in einer Übungsaufgabe einen integrierenden Faktor<math>g=g(t,x)</math> für

<math>\vec{F}\cdot d\vec{x}=\delta f = (3t^2 x + 4x^2)dt + (4tx-x^3)dx</math>

finden.

Dazu gehe ich von folgender Bedingung aus


<math>\partial _t (gF_x)  =\partial _x (gF_t)</math>

Diese Gleichung könnte man weiter ausschreiben. Anschließend muss ein geschickten Ansatz für <math>g=g(t,x)</math> gewählt werden. In der Vorlesung hat es immer mit dem Produktansatz <math>g(t,x)=g_1(t)g_2(x)</math> funktioniert.

<math> g_2(x) \cdot [ 4xg_1(t) + 4xt \partial_t g_1(t) - x^3 \partial_t g_1(t) ]=g_1(t) \cdot [3t^2g_2(x) + 3t^2 x  \partial_x g_2(x) + 8x g_2(x) + 4x^2 \partial_x g_2(x)]</math>

Ich komme auf keine Umformung, bei der die Variablen getrennt sind.





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lula
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Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-21


Hallo
 Versuchs mal einfach nur mit g(x) , das klappt.
bis dann lula


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Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Approxxx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-21


Okay, dann gehe ich mal vom Ansatz <math>g=g(t,x)=g(x)</math> aus.

<math>\frac{\partial}{\partial t}(gF_x) = \frac{\partial}{\partial x}(gF_t)  \quad \Leftrightarrow \quad g\frac{\partial}{\partial t} F_x =
F_t \frac{\partial}{\partial x}g + g \frac{\partial}{\partial x}F_t</math>

Mit der obigen Definition für <math>\vec{F}</math> folgt:

<math>g 4x = (3t^2x +4x^2 ) \frac{\partial}{\partial x} g + g(3t^2+8x)</math>

Mit dem Ansatz schaffe ich es auch leider nicht. Ich hatte die Umformung<math> \frac{1}{xg(x) t^2}</math> versucht..



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Phi1
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-21


Hi!

Da hast du dich mit den Ableitungen ein bisschen überschlagen:

<math>\partial_t(g(x)F_x(t,x)) = g(x)F_{tx}</math>
<math>\partial_x(g(x)F_t) = g'(x)F_t +g(x)F_{xt}</math>

Gleich gesetzt und umgeformt ergibt sich: <math>g'(x) = g(x)\frac{(F_{tx}-F_{xt})}{F_t}</math>.
MfG


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Approxxx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-21


<math>F_{xt}-F_{tx} = \partial_t F_x - \partial_x F_t =0</math> wär erfüllt, wenn <math>\vec{F} \cdot d\vec{x} </math> ein exaktes Differential wäre.

<math>\partial_t F_x - \partial_x F_t = 4x - (3t^2+8x) \neq 0</math>



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Approxxx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-21


Hmm, habe ich irgendwo einen Denkfehler?



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Phi1
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-10-22


Um die Sache klar zu stellen; bei dir ist <math>F = (3t^2x+4x^2, 4tx-x^3)</math>. Dann wäre <math>F_x</math> und <math>F_t</math> für mich die partiellen Ableitungen von <math>F</math> bezüglich <math>x</math> und <math>t</math>.
Oder ist <math>F_t = 3t^2x+4x^2 </math> und <math>F_x = 4tx-x^3 </math>?

Im ersten Fall ist <math>F_{xt} = F_{tx}</math> im zweiten Fall hätten wir <math>F_{xt} = 3t^2+8x</math> und <math>F_{tx} = 4x</math>.

Wenn wir den zweiten Fall weiterverfolgen, dann erhalten wir <math>g'(x) = -\frac{3t^2+4x}{3t^2x+4x^2} = -\frac{1}{x}</math>. Das ist doch ein schönes Ergebnis, denn <math>g(t,x)_x = -\frac{1}{x}</math> und damit <math>g(t,x)= -ln(x)</math>, wobei stets <math>g(t,x) = g(x)</math>.



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Approxxx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-22


Entschuldigung, ich hätte zu Beginn die von mir verwendenden Ausdrücke definieren sollen.

Definition von <math>F_x</math> und <math>F_t</math>:

<math>F_x := 4tx-x^3 \quad \land \quad F_t:=3tx^2 +4x^2 </math>


also die jeweiligen Komponenten des Vektorfeldes <math>\vec{F}</math>.




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