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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Folgen und Reihen » Sandwichsatz anwenden
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Universität/Hochschule Sandwichsatz anwenden
kleinaca1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-21


Hallo

Kann mir jemand bitte erklären, wie man den Sandwichsatz anwendet?

Hier meine Aufgabe:

fed-Code einblenden

Ich habe grad keinen Plan was genau ich mit der Folge alles machn darf um sie in die Ungleichung umzuformen :/



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-21


Hallo,

also die Abschätzung <math>0\leq\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}</math> ist klar.
Du musst nun eine Folge <math>a_n</math> finden mit

<math>\frac{n!}{n^n}\leq a_n</math> (ab einem bestimmten Index N) und <math>\lim_{n\to\infty} a_n=0</math>



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kleinaca1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-21


Hallo und danke für die fixe Antwort. Das hilft schonmal. Aber wie sttelle ich so eine neue Folge auf? Bin grad total planlos...
2017-10-21 18:14 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

also die Abschätzung <math>0\leq\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}</math> ist klar.
Du musst nun eine Folge <math>a_n</math> finden mit

<math>\frac{n!}{n^n}\leq a_n</math> (ab einem bestimmten Index N) und <math>\lim_{n\to\infty} a_n=0</math>



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-21


Schreibe doch <math>n^n</math> und <math>n!</math> mal aus.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-10-21


Versuche <math>\frac{n!}{n^n}</math> nach oben abzuschätzen. Was ist die "natürlichste" Abschätzung für <math>n!</math> die dir spontan einfällt?

Beachte auch, dass wir am Ende eine Nullfolge erhalten wollen.



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kleinaca1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-21


2017-10-21 18:32 - kurtg in Beitrag No. 3 schreibt:
Schreibe doch <math>n^n</math> und <math>n!</math> mal aus.

fed-Code einblenden

So. Vielleicht bin ich einfach nur zu langsam dafür aber ich seh nicht was ich damit anfangen soll...

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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kleinaca1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-21


Was genau meinst du mit abschätzen?
2017-10-21 18:35 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 4 schreibt:
Versuche <math>\frac{n!}{n^n}</math> nach oben abzuschätzen. Was ist die "natürlichste" Abschätzung für <math>n!</math> die dir spontan einfällt?

Beachte auch, dass wir am Ende eine Nullfolge erhalten wollen.



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-10-21


2017-10-21 18:39 - kleinaca1 in Beitrag No. 5 schreibt:
2017-10-21 18:32 - kurtg in Beitrag No. 3 schreibt:
Schreibe doch <math>n^n</math> und <math>n!</math> mal aus.

fed-Code einblenden

So. Vielleicht bin ich einfach nur zu langsam dafür aber ich seh nicht was ich damit anfangen soll...

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]

<math>n! = \prod_{k=1}^nk</math>. Gruppiere mal die Faktoren zusammen.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-10-21


kurtg meinte du sollst <math>n!</math> und <math>n^n</math> so ausschreiben:

<math>n!=1\cdot 2\cdot \dotso\cdot (n-1)\cdot n</math>

Wie viele Faktoren sind das?
(Du hast es mit Addition aufgeschrieben. Das ist falsch)


<math>n^n=n\cdot n\cdot \dotso\cdot n</math>

Wie viele Faktoren sind das?

Mit "abschätzen" meine ich, dass du deine Folge <math>\frac{n!}{n^n}</math> mit einer anderen Folge <math>(a_n)</math> durch <math>\leq</math>-Relation in Beziehung setzt.

Und ja <math>n!</math> und <math>n^n</math> als Folgen sind divergent, aber darum geht es gerade nicht unbedingt.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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cis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-10-21


Für ein Sandwich braucht man vermutlich:
fed-Code einblenden


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


-----------------
Wenn man alles ausgeschaltet hat, was unmöglich ist, bleibt am Ende etwas übrig, das die Wahrheit enthalten muß - mag es auch noch so unwahrscheinlich sein...
(Sherlock Holmes)
·



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kleinaca1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-21


Natürlich ja. War mit dem Fakultät grad verwirrt. Nun gibts bei beiden Folgen die gleiche Anzahl Faktoren nämlich n.
2017-10-21 18:45 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 8 schreibt:
kurtg meinte du sollst <math>n!</math> und <math>n^n</math> so ausschreiben:

<math>n!=1\cdot 2\cdot \dotso\cdot (n-1)\cdot n</math>

Wie viele Faktoren sind das?
(Du hast es mit Addition aufgeschrieben. Das ist falsch)


<math>n^n=n\cdot n\cdot \dotso\cdot n</math>

Wie viele Faktoren sind das?

Mit "abschätzen" meine ich, dass du deine Folge <math>\frac{n!}{n^n}</math> mit einer anderen Folge <math>(a_n)</math> durch <math>\leq</math>-Relation in Beziehung setzt.

Und ja <math>n!</math> und <math>n^n</math> als Folgen sind divergent, aber darum geht es gerade nicht unbedingt.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-10-21


Siehst du denn nun eine Möglichkeit n! nach oben abzuschätzen?
Was für Nullfolgen kennst du denn? Schreibe mal ein paar hin.

Worauf könnte es hinauslaufen?

[Ich bin jetzt übrigens erst mal eine Weile nicht mehr online.]



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kleinaca1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-21


Ich versteh nicht genau, wie ich eine Folge die grösser gleich n! ist suchen soll, die konvergiert. n! ist doch zwangsläufig grösser als eine Folge die Konvergiert...
2017-10-21 19:05 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 11 schreibt:
Siehst du denn nun eine Möglichkeit n! nach oben abzuschätzen?
Was für Nullfolgen kennst du denn? Schreibe mal ein paar hin.

Worauf könnte es hinauslaufen?

[Ich bin jetzt übrigens erst mal eine Weile nicht mehr online.]



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2017-10-21


Du hast im Zähler <math>n</math> Faktoren stehen und im Nenner ebenso viele. Du könntest <math>a_n</math> also auch als Produkt von <math>n </math> Brüchen schreiben, einfach indem du jedem Faktor im Zähler einen Faktor im Nenner zuordnest.
Welche Eigenschaft haben alle diese Faktoren? Sie liegen alle zwischen ... und ...
Der erste Faktor ist ...
Damit ist  <math>a_n <\ldots </math>



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kleinaca1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-21


Sie liegen alle zwischen 1 und n. Der erste Faktor wäre damit 1 und fed-Code einblenden
oder bin ich auf dem Holzweg?
2017-10-21 20:01 - ochen in Beitrag No. 13 schreibt:
Du hast im Zähler <math>n</math> Faktoren stehen und im Nenner ebenso viele. Du könntest <math>a_n</math> also auch als Produkt von <math>n </math> Brüchen schreiben, einfach indem du jedem Faktor im Zähler einen Faktor im Nenner zuordnest.
Welche Eigenschaft haben alle diese Faktoren? Sie liegen alle zwischen ... und ...
Der erste Faktor ist ...
Damit ist  <math>a_n <\ldots </math>



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2017-10-21


Schreibe doch mal die Faktoren hin.



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kleinaca1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-21


fed-Code einblenden
2017-10-21 20:28 - kurtg in Beitrag No. 15 schreibt:
Schreibe doch mal die Faktoren hin.



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SabineMueller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2017-10-21


Hi kleinaca,

ich hätte zumindest eine Möglichkeit

 <math>\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{n!}{n^n}=0</math>

 zu zeigen, die das Quotientenkriterium für Reihen verwendet. Willst du die hören?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2017-10-21


2017-10-21 20:44 - kleinaca1 in Beitrag No. 16 schreibt:
fed-Code einblenden
2017-10-21 20:28 - kurtg in Beitrag No. 15 schreibt:
Schreibe doch mal die Faktoren hin.


<math>\frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdot\dotso\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n}{n}</math>



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kleinaca1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-22


Vom Quotientenkriterium hab ich bisher noch nichts gehört und Reihen haben wir auch noch nicht angeschaut.
2017-10-21 22:01 - SabineMueller in Beitrag No. 17 schreibt:
Hi kleinaca,

ich hätte zumindest eine Möglichkeit

 <math>\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{n!}{n^n}=0</math>

 zu zeigen, die das Quotientenkriterium für Reihen verwendet. Willst du die hören?



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kleinaca1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-22


Ok dann ist die Folge fed-Code einblenden fed-Code einblenden
2017-10-21 23:25 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 18 schreibt:
2017-10-21 20:44 - kleinaca1 in Beitrag No. 16 schreibt:
fed-Code einblenden
2017-10-21 20:28 - kurtg in Beitrag No. 15 schreibt:
Schreibe doch mal die Faktoren hin.


<math>\frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdot\dotso\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n}{n}</math>



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2017-10-22


Du musst eine dominierende Nullfolge finden.



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Cielo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2017-10-22


Du musst nur mit PrinzessinEinhorns Antwort weiterarbeiten. Du hast ja schon die Nullfolge <math>1/n</math> erwähnt. Kannst du die durch Abschätzen erreichen?


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.19 begonnen.]



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