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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Folgen und Reihen » Cauchy-Produkt
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Universität/Hochschule J Cauchy-Produkt
Euler2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-21


Sehr geehrter Matroidplanet,

Die Formel für das Cauchy-Produkt zweier abs. konvergenter Reihen ist ja
<math>\left( \sum_{k=0} ^{\infty} a_k  \right)\cdot \left( \sum_{k=0} ^{\infty} b_k \right) = \sum_{n=0} ^{\infty} \sum_{k=0} ^{n} a_k b_{n-k} </math>

Nun habe (abs. konvergente) Reihen der Form
<math>\left(\sum_{k \in \mathbb{Z}}  a_k \right)  \cdot \left( \sum_{k \in \mathbb{Z}} b_k  \right) =? \sum_{n \in \mathbb{Z}} \sum_{k=-n} ^{n} a_k b_{n-k} </math>

Gilt diese Aussage? Vielen Dank für eure Hilfe schonmal.



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-21


Hallo, Euler2,

wenn du dir mal aufmalst, wie die innere Summe zustande kommt (in beiden Fällen), siehst du, dass das nicht richtig sein kann.

Wally



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Euler2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-21


Hallo Wally,

Ich sehe leider nicht warum die erste Formel falsch sein soll.
Ich schreibe die Formel aus wie in Wikipedia (de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Produktformel) oder auch www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/lehrmaterial/analysis1/ws0203/Reihenprodukt.pdf

Könntest du bitte den Fehler explizit ausführen.



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-21


Hallo,

die erste ist richtig, die zweite falsch. Ich meine du musst die Idee/den Beweis der ersten verstehen, um die zweite zu verbessern.

Wally



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Euler2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-22


Hallo Wally,

Ah tut mir leid Wally ich hatte mich verlesen bzw. zu schnell gelesen und hab gedacht beide Formeln sind falsch.

Kannst du mir nochmal genau sagen, warum die Reihe falsch ist. Ich finde es einfach nicht heraus. Man betrachte festes k. Dann ist die Reihe gegeben zu<math> \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_k b_{n-k}</math>.  Also erreiche ich schon mal alle Paare <math>(a_k, b_n)</math>. Das alle <math>a_k</math> auch vorkommen ist logisch, denn die innere Summe geht ja von <math> \sum_{k=-n} ^{k=n}a_k</math> und n nimmt alle Werte an. Das heißt es muss sich ein Wert doppeln?

Folgendes funktioniert aber auch oder? <math>\sum_{n \in \mathbb{Z}} \sum_{k \in \mathbb{Z}}  a_k b_{n-k}</math>



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-10-22


Hallo, das sieht (nach der Korrektur) richtig aus.

Wally



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Euler2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-22


Hallo Wally,

Vielen Dank für die Hilfe.



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