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Universität/Hochschule Maßtheorie, Messbarkeit
xic14
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-21


Hallo Leute,


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A ist die Menge aller Punkte, die in unendl. vielen Mengen A_k liegen

Ich muss zeigen dass A messbar ist.

Meine Idee: Elemente von der sigma Algebra bezeichnet man als messbar (das ist die einzige Definition die ich aus meiner Mitschrift gefunden habe). Aber wie geht es weiter?

Vielen Dank!



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-21


Huhu xic14,

die "Menge aller Punkte, die in unendlichen vielen <math>A_k</math> liegen" heisst auch <math>\mathrm{lim \; sup} \, A_k</math>.

Überlege Dir, dass man diese Menge schreiben kann als <math>\mathrm{lim \, sup} \, A_k = \bigcap_{n=1}^\infty \, \bigcup_{k \ge n} \, A_k</math>. Die Messbarkeit folgt dann aus den elementaren Eigenschaften einer Sigma-Algebra.

lg, AK.



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xic14
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-21


Hallo!
Ich verstehe nicht, warum man A als limsup A_k schreiben kann. Ich dachte die Punkte in A sind in unendlich vielen A_k enthalten, z.B. ein Punkt a_i liegt in A_2, A_4, A_blabla, er muss nur in unendl. vielen A_k sein, muss aber nicht zu irgendeinem bestimmten A_m gehören (zum Beispiel A_1)
Hab ich was falsch verstanden?
Danke!

2017-10-21 22:15 - AnnaKath in Beitrag No. 1 schreibt:
Huhu xic14,

die "Menge aller Punkte, die in unendlichen vielen <math>A_k</math> liegen" heisst auch <math>\mathrm{lim \; sup} \, A_k</math>.

Überlege Dir, dass man diese Menge schreiben kann als <math>\mathrm{lim \, sup} \, A_k = \bigcap_{n=1}^\infty \, \bigcup_{k \ge n} \, A_k</math>. Die Messbarkeit folgt dann aus den elementaren Eigenschaften einer Sigma-Algebra.

lg, AK.



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sibelius84
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-21


Hallo xic14,

der "lim sup" ist nur ein Name für genau das, was du beschreibst - nämlich gerade die Menge aller Punkte, die in unendlich vielen der vorgegebenen Mengen enthalten sind.

Wichtiger ist glaube ich AK's zweiter Schritt mit dem Durchschnitt und der Vereinigung. Verstehst du, warum man die Menge aller Punkte, die in unendlich vielen der vorgegebenen Mengen enthalten sind, so schreiben kann? Und siehst du, wie dir das im Hinblick auf die Messbarkeit hilft?

LG
sibelius84



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xic14
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-21


Hi

Leider verstehe ich wirklich nicht warum man A so schreiben kann.

2017-10-21 23:41 - sibelius84 in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo xic14,

der "lim sup" ist nur ein Name für genau das, was du beschreibst - nämlich gerade die Menge aller Punkte, die in unendlich vielen der vorgegebenen Mengen enthalten sind.

Wichtiger ist glaube ich AK's zweiter Schritt mit dem Durchschnitt und der Vereinigung. Verstehst du, warum man die Menge aller Punkte, die in unendlich vielen der vorgegebenen Mengen enthalten sind, so schreiben kann? Und siehst du, wie dir das im Hinblick auf die Messbarkeit hilft?

LG
sibelius84



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-10-22


Huhu xic14,

die übliche Bezeichnung für die Menge <math>A</math> (nämlich <math>\mathrm{lim \, sup} \, A_k</math>) soll Dich nicht verwirren! Sie gibt sie Dir aber möglicherweise einen Hinweis, wie man die Beziehung (1) <math>A=\bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k \ge n} A_k</math> beweisen kann (sofern Dir hier die Anschauung nicht bereits hilft).

Versuche doch einmal formal aufzuschreiben, wie die Menge <math>A</math> aussieht.

Und wenn Du einfach mal unterstellst, dass (1) korrekt ist, kannst Du den Rest des Beweises dann führen?

lg, AK.



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