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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Rationale und reelle Zahlen » Generelle Vorgehensweise: Menge auf Supremum, Infimum untersuchen (mit Beweis)
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Autor
Universität/Hochschule J Generelle Vorgehensweise: Menge auf Supremum, Infimum untersuchen (mit Beweis)
Beny
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.10.2017
Mitteilungen: 10
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-22 16:35


Hallo zusammen,
ich studiere Mathe im 1. Semester bei meinem ersten Übungsblatt bin ich auf folgende Probleme gestoßen. Die Aufgaben sind keine Pflichtaufgaben allerdings möchte ich sie doch verstehen.

fed-Code einblenden


Meine Lösung zu (a) bisher :

Ich vermute dass das Infimum = -1 ist ( Ich habe y=1 gewählt und dann x gegen unendlich laufen lassen). Das Supremum sollte 1 sein (Selbe Spiel bloß habe ich x=1 gesetzt und y gegen unendlich laufen lassen.
Mein Problem ist wie beweise ich jetzt das dies auch stimmt und es keine weiteren Ober- bzw. Untergrenzen gibt?
Ich habe versucht vorzugehen wie ich es machen würde wenn es 1/x + 1/y heißen würde kam aber auf kein Ergebnis!

Meine Lösung zu (b) bisher :
Ich vermute das Minimum und das Infimum ist 0 und das es keine Obergrenze gibt.
Auch hier das selbe Problem.

Das Studium hat gerade erst begonnen vielleicht muss ich mich ja noch ein bisschen an das neue Klima gewöhnen. :D
Ich würde mich über jeden Tipp oder Lösungsvorschlag freuen und danke euch im Voraus.



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1094
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-22 17:54


Hey Beny,

deine Ergebnisse sind richtig.
Wenn du zeigen willst, dass etwa -1 das Infimum der ersten Menge ist, solltest du zunächst einmal zeigen, dass -1 eine untere Schranke ist, d.h. du zeigst:
<math>\frac{1}{x} - \frac{1}{y} \geq -1</math> für alle <math>x,y \geq 1</math>.
Ab hier gibt es dann zwei Möglichkeiten um weiterzumachen.

Möglichkeit 1 (klappt nicht immer): du zeigst, dass -1 ein Element dieser  Menge ist. Dies muss aber nicht unbedingt der Fall sein (ist es hier auch nicht), aber wenn dies der Fall sein sollte, dann ist -1 automatisch schon das Minimum und damit das Infimum. Wenn dies klappt, geht es viel schneller als Möglichkeit 2.

Möglichkeit 2 (klappt immer): Du zeigst, dass für jedes <math>\epsilon >0</math> die Zahl <math>-1 + \epsilon</math> keine(!) untere Schranke mehr ist (das bedeutet dann ja, dass es keine größere untere Schranke als -1 geben kann). D.h. du musst zu jedem <math>\epsilon>0</math> ein Element der Menge finden (das dann irgendwie von <math>\epsilon</math> abhängt), das kleiner als <math>-1 + \epsilon</math> ist (denn gerade dann ist ja <math>-1 + \epsilon</math> keine untere Schranke mehr).
Übersetzt auf das Fallbeispiel heißt das:
Finde zu jedem <math>\epsilon>0</math> Zahlen <math>x,y \geq 1</math>, sodass <math>-1 + \epsilon > \frac{1}{x} - \frac{1}{y}</math> gilt.
Die Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> dürfen hier also von <math>\epsilon</math> abhängen.
Im Endeffekt basiert das auf genau das, was du schreibst, man wählt <math>y=1</math> und lässt <math>x</math> gegen unendlich laufen. Wichtig ist aber, dass du es mit der <math>\epsilon</math>-Definition des Infimums auch hinschreiben kannst, versuch das mal.
Analoges gilt natürlich auch für das Supremum.

Willst du, wie etwa bei der Menge <math>B</math>, zeigen, dass es keine obere Schranke gibt, dann zeigst du genau das:
Finde zu jeder beliebigen Zahl <math>C \in \mathbb{R}</math> ein Element der Menge, das größer ist als <math>C</math> (denn dann ist <math>C</math> ja keine obere Schranke. Und da <math>C \in \mathbb{R}</math> beliebig war, kann es also keine obere Schranke geben).
Übersetzt auf das Beispiel bedeutet das:
Finde zu jedem <math>C \in \mathbb{R}</math> ein <math>x \in \mathbb{R}</math>, sodass:
<math>\frac{|x| \cdot x^2}{1+x^2} > C</math>.



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Beny
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.10.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-22 19:37


Hallo Kampfnudel,

erstmal vielen Dank für deine Antwort. Ich habe jetzt einfach weiter probiert und auch nochmal mein Skript zur Vorlesung angeschaut.
Allerdings bin ich noch immer unsicher!

Ich habe versucht analog zu meinem Skript vorzugehen:

fed-Code einblenden

Ich schätze das dies der allgemeine Beweis da zu wäre samt Beweis das es keine weitere Untergrenze gibt nicht?
Das (!) ist das was du mir auch gesagt hast und hier habe ich immer noch das Problem und zwar wie das genau mache. Ich mag es zwar nicht ganze Lösungen zu bekommen aber kannst du mir zumindest für das Infimum die Vorgehensweise mit der Epsilon Definition zeigen?

Gruß ein sehr verwirrter Beny



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-23 10:52


Ich würde vermuten, dass du dich vom Beweis des folgenden Satz/Lemma aus deinem Skript hast inspirieren lassen, der/das so oder so ähnlich lautet:
Satz/Lemma: Sei <math>s \in \mathbb{R}</math> und <math>A \subset \mathbb{R}</math> eine nach unten beschränkte Menge. Dann sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:
(i) <math>s</math> ist die kleinste untere Schranke von <math>A</math>
(ii) es gilt <math>a \geq s</math> für alle <math>a \in A</math> und für alle <math>\epsilon >0</math> existiert ein <math>a \in A</math>:
<math>a < s + \epsilon</math>.

In meinem letzten Post habe ich dir, mit ein wenig Prosa, erklärt, warum diese beiden Aussagen äquivalent sind. Das musst du hier aber nicht nachmachen, denn diese Äquivalenz wollen wir hier ja nicht zeigen, sondern nutzen.

Wir müssen zeigen, dass die Eigenschaften der Aussage (ii) für <math>s=-1</math>, also unser vermutetes Infimum, zutreffen.
Du zeigst also zwei Dinge:
1) <math>\frac{1}{x} - \frac{1}{y} \geq -1</math> für alle <math>x,y \geq 1</math>
2) Für alle <math>\epsilon >0</math> existieren <math>x,y \geq 1</math>, sodass gilt:
<math>\frac{1}{x} - \frac{1}{y} < -1 + \epsilon</math>.

Fangen wir mal mit 1) an. Wir müssen den Ausdruck <math>\frac{1}{x} - \frac{1}{y} </math> nach unten durch <math>-1</math> abschätzen.
Wenn jetzt <math>x \geq 1</math> und <math>y \geq 1</math> gilt, wie kann man dann den Ausdruck <math>\frac{1}{x}</math> nach unten abschätzen und wie den Ausdruck <math>-\frac{1}{y}</math>?





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Beny
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-23 20:05


Hallo
danke für deine Antwort!

Was ich jetzt habe:
fed-Code einblenden

Tut mir Leid das ich dich so belästige Kampfpudel. Die Aufgabe will mir nicht in den Kopf gehen
Gruß Beny

Edit!
Mir ist gerade durch den Kopf gegangen das ich hier irgendwie Mist mache:
> Damit kann ich doch die Ungleichung 1/x - 1/y <= ε -1 mit y=1 und x= 1/ε erfüllen?
Wenn ich jetzt annehme das -1/2 die untere Schranke wäre kann ich das beweisen für y=2 und x= 1/ε
Irgendwie hab ich mich komplett verrannt!!



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-10-24 11:01


Hey,

Begriffe wie "kleinste untere Schranke" oder "größte obere Schranke" haben keinen Sinn, überleg dir mal warum.
Dementsprechend sind deine Rechnungen hierzu leider wertlos

Sinn machen dagegen "größte untere Schranke" und "kleinste obere Schranke".
Deine erste Rechnung ist schon einmal sehr gut. Es ist aber notwendig, dass die strikte Ungleichung <math>\frac{1}{x} - \frac{1}{y} < -1 + \epsilon</math> erfüllt wird, also mit einem "<math><</math>" und nicht nur "<math>\leq</math>".
Was dazu erfüllt sein muss, hast du ja hergeleitet, nämlich <math>x> \frac{1}{\epsilon}</math>. Wenn du jetzt etwa <math>x=\frac{2}{\epsilon}</math> wählst, ist die gewünschte, strikte Ungleichung erfüllt.
Jetzt fehlt allerdings noch der Beweis, dass <math>-1</math> überhaupt eine untere Schranke ist. Du musst also noch zeigen, dass für alle <math>x,y\geq 1</math> gilt:
<math>\frac{1}{x} - \frac{1}{y} \geq -1 </math>.
Wenn du das hast, dann hast du tatsächlich gezeigt, dass <math>-1</math> die größte untere Schranke ist.

Zum Supremum:
Wie beim Infimum fehlt noch der Nachweis, dass <math>1</math> überhaupt eine obere Schranke ist, also dass für alle <math>x,y \geq 1</math> gilt:
<math>\frac{1}{x} - \frac{1}{y} \leq 1 </math>.

Der Ansatz des zweiten Teils ist aber richtig, man versucht zu einem beliebigen <math>\epsilon>0</math> Zahlen <math>x,y \geq 1</math> zu finden, sodass gilt:
<math>\frac{1}{x} - \frac{1}{y} > 1 - \epsilon</math>
Deine Rechnung funktioniert aber so nicht, aus zwei Grüden:
1. stimmt die Rechnung so nur für <math>\epsilon < 2</math>
2. es ist nicht so, dass das so gewählte <math>x</math> stets <math>\geq 1</math> ist. Für etwa <math>\epsilon =\frac{1}{2}</math> ist dies nicht der Fall.
Das Problem ist, dass du hier auch wieder <math>y=1</math> setzt und damit versuchst weiterzukommen. Du musst hier aber dafür sorgen, dass der Ausdruck <math>\frac{1}{x} - \frac{1}{y}</math> unter der Bedingung <math>x,y\geq 1</math> möglichst groß wird (beim Infimum entsprechend möglichst klein). Wenn du jetzt aber <math>y=1</math> setzt, wird der Ausdruck dadurch nicht groß, sondern klein. Beim Infimum war es daher sehr sinnvoll, es so zu machen. Hier muss man es ein klein wenig anders machen



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