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Mathematik » Numerik & Optimierung » Minimale Kosten
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Universität/Hochschule Minimale Kosten
Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-22


Halli hallo.

es werden folgende Mengen an Getränken benötigt:

2.500 l Bier
300 l Schnaps
1.800 l Limo

Angabe: Preis pro Liter
L1-L4,: vier verschiedene Lieferanten

<math>\begin{tabel}
\centering
\begin{tabular}{lllll}
\textbf{Sorte} &  \textbf{L1} &\textbf{L2} & \textbf{L3} &\textbf{L4}\\

Bier & 2.35  &  2.20 & 2.26  &2.18\\
Schnaps & 4.46 & 3.95 & 4.20 & 4.13\\
Limo & 1.22 & 1.13 & 1.13 & 1.10\\
\end{tabular}</math>

Es können auch rationale Vielfache an Menge bestellt werden.

Liefereanten haben unterschiedliche Beschränkungen was die Menge der LIeferung betrifft (in Liter)

<math>\begin{tabel}
\centering
\begin{tabular}{lllll}
\textbf{Sorte} &  \textbf{L1} &\textbf{L2} & \textbf{L3} &\textbf{L4}\\

Bier & 2.000  &  1.000 & 1.200 &500\\
Schnaps & 200 & 200 & 150 & 100\\
Limo & 1.600 & 1.000 & 1.000 & 1.400\\
\end{tabular}</math>

Es muss mindestens für 4.000 Euro bei L1 bestellt werden.
Kein Lieferant kann in der Summe von Bier, Schnaps u Limo mehr als 2000 Liter liefern.
L4 gibt an, dass er nicht mehr Liter an alkoholhaltigen als alkoholfreien Getränken liefert.



Gesucht: lineares Optmierungsproblem für Kostenminimierung


Meine Ideen:

<math>z= 2.500 l \cdot x_1 + 300 \cdot x_2 + 1.800 l \cdot x_3 \rightarrow min!</math>

<math>2.000*2.35 x_1 + 2.20*1000 x_1+ 2.26*1.200 x_1 + 2.18*500 x_1</math> (für Bier)

Nebenbedingugnen lauten:

<math>2.000 x_1 + 200 x_2 + 1.600 x_3 \ge 4.000 Euro</math>
<math>500 x_1 + 100 x_2 \le 1.400 x_3 Liter</math>

<math>a x_1 + bx_2 + cx_3 \le 2.000 Liter</math>



Jetzt habe  ich Chaos und weis nicht, was ich machen soll, da ich zum einen die Einheit Liter und dann Euro habe.

Könnt ihr mir helfen?

GlG



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sibelius84
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-22


Hallo Polar_regen,

brauchst du denn die Einheiten? Kann man die nicht einfach weglassen? (Oder studierst du Physik?  wink )

Ich fürchte, du wirst eine ganze Ecke mehr Variablen benötigen:

a_(ij) := Menge an Getränk i, das bei Lieferant j gekauft wird

Getränk 1 := Bier, Getränk 2:= Schnaps, Getränk 3 := Limo
1 <= j <= 4

Gibt also ein LOP mit sage und schreibe 12 Variablen. Ich hoffe, du musst das nicht anschließend zu Fuß mit dem Simplex lösen? Die Anzahl der Nebenbedingungen könnte 12 noch etwas übersteigen, grob abgeschätzt...

Grüße
sibelius84



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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-23


Heiii sibelius84,

nein, ich studiere Mathe, man kann die Einheiten also weglassen.

Mhm deine Idee mit a_ij kommt mir kompliziert vor. Das soll eigtl ein einfaches Einstiegsbeispiel sein. Ist die  erste Hausaufgabe u das Simplexverfahren haben wir noch nicht in der VL behandelt.

Gibt es keine einfachere Lösung mit nur x_1, x_2 u x_3?


GlG



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-23


Nein, die gibt es nicht.

Du musst doch am Ende jedem der vier Lieferanten für alle drei Getränkearten sagen, wie viel Du bei ihm bestellst. Da kommst Du um 12 Variablen nicht herum.

Wenn man die Aufgabenstellung genau liest, geht es übrigens nicht(!) um die Lösung dieses Problems, sondern nur darum, das Ganze überhaupt als lineares Optimierungsproblem zu formulieren.



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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-23


okay, ja genau Kitaktus, ich soll das Problem nur aufstellen, nicht lösen.

Kann mir denn jmd die erste Gleichung geben? die anderen 11 werden ja dann analog aufgestellt oder?


GlG



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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-23


ist das viellt


min <math>(a11+b11+c11) x_1 + (a12+b12+c12)x_2+ (a13+b13+ c13)
x_3 + (a14 + b14 + c14) x_4</math>


Wobei x1-x4 dieLieferanten sind und a bier, b Schnaps, c Limo?



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-10-24


2017-10-22 21:43 - sibelius84 in Beitrag No. 1 schreibt:
Brauchst du denn die Einheiten? Kann man die nicht einfach weglassen? (Oder studierst du Physik?)

Meine Erfahrung zeigt, dass Einheiten (auch in der Mathematik) eine sehr gute Sache sind und oftmals Fehlformulierungen aufzeigen, die sonst unbemerkt bleiben. Ich würde sie nicht unter den Tisch fallen lassen.

Aber natürlich können sie vor der numerischen Auflösung weggekürzt werden (wenn nicht, hat sich ein Fehler eingeschlichen).


2017-10-22 20:47 - Polar_regen im Themenstart schreibt:

<math>z= 2.500 l \cdot x_1 + 300 \cdot x_2 + 1.800 l \cdot x_3 \rightarrow min!</math>

Jetzt habe  ich Chaos und weiß nicht, was ich machen soll, da ich zum einen die Einheit Liter und dann Euro habe.

Siehst du? Schon hast du dank der Einheiten bemerkt, dass das falsch ist!



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-10-24


2017-10-23 12:25 - Polar_regen in Beitrag No. 2 schreibt:
Gibt es keine einfachere Lösung mit nur x_1, x_2 u x_3?

2017-10-23 12:47 - Kitaktus in Beitrag No. 3 schreibt:
Nein, die gibt es nicht.



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-10-24


2017-10-23 20:27 - Polar_regen in Beitrag No. 5 schreibt:
ist das viellt


min <math>(a11+b11+c11) x_1 + (a12+b12+c12)x_2+ (a13+b13+ c13)
x_3 + (a14 + b14 + c14) x_4</math>


Wobei x1-x4 dieLieferanten sind und a bier, b Schnaps, c Limo?

Wie gesagt, mit nur vier Variablen wird das nichts werden.

Versuche folgenden Ansatz: <math>\displaystyle x_{ij}</math> ist die Menge von Gut j, die bei Lieferanten i bestellt werden. Wie groß ist die Gesamtliefermenge von i, wie teuer ist die Lieferung von i, wie teuer sind alle vier Lieferungen zusammen? usw.

PS: Nur weil es 12 Variablen sind, müssen es noch lange nicht 12 Nebenbedingungen sein. Die Zahl der Nebenbedingungen hängt davon ab, was in der Aufgabe alles gefordert wurde.



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-10-24


(2017-10-22 20:47 - Polar_regen im <a
Es muss mindestens für 4.000 Euro bei L1 bestellt werden.
wie ist das zu verstehen

bekommt L1 4000 € egal ob man bei ihm was bestellt ? ---> 8940,45 €
oder liefert er gar nix wenn die bestellung zu klein ist? --->8745,00 €
haribo





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sibelius84
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-10-25


Die Waren bei Lieferant 1 haben ja Preise. Da machst du einfach

(Preis von Getränk 1)·a_11 + ... + (Preis von Getränk 3)·a_31 >= 4000.

Aufgaben auf einem ersten ÜB zur Linearen Optimierung / Operations Research sehen tatsächlich ziemlich häufig so aus. Soll vermutlich einen Eindruck von der realen, praktischen Anwendbarkeit der Geschichte vermitteln. Etwas ungewohnt, wenn man vorher Algebra oder Topologie gemacht hat  wink



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-10-26


2017-10-25 22:28 - sibelius84 in Beitrag No. 10 schreibt:
Da machst du einfach

Soll vermutlich einen Eindruck von der realen, praktischen Anwendbarkeit der Geschichte vermitteln. wink
schon klar, mir fehlte nur kurzfristig die phantasie wie es im realen zu dieser nebenbedingung kommen kann, aber "L1 is möglicherweise ein nachbar der den lärm einer party nur erträgt wenn er mindestumsatz macht... also ne art vorrausschauende bestechung" haribo



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2017-10-26


2017-10-26 06:27 - haribo in Beitrag No. 11 schreibt:
... mir fehlte nur kurzfristig die phantasie wie es im realen zu dieser nebenbedingung kommen kann, ...
Eine enge Bindung an Lieferanten ist in dieser Branche durchaus üblich.
Viele Betreiber einer Kneipe erhalten z.B. ihre Startfinanzierung zu Sonderkonditionen von einer Brauerei, die dafür im Austausch Mindestabnahmemengen oder andere Exklusivrechte einfordert.

Ich gehe übrigens davon aus, dass der Mindestumsatz auch tatsächlich so gemeint ist und nicht in der Form "mindestens 4000 Euro, oder gar nichts". Der zweite Fall lässt sich mit einem linearen Optimierungsproblem allein nicht modellieren.



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2017-10-26


also dann 1702,13 l bier bei L1 und ne gesamtrechnung von 8940,32€ ...
nochmals 13 ct gespart wegen der vorher übersehenen rationalmengen

betrachtet als packingproblem mit ceapest fit (12 variablen)und nachdenken über den mindestumsatz L1 (9 variablen) hab ich damit wohl 21 variable benutzt,

die anderen nebenbedingungen waren dann direkt erfüllt, käme eine davon in betracht würde es die variablenanzahl wohl multiplizieren(?) das könnten also doch wohl schnell 21*12 oder 21*12^2 ergeben

erhöhte L4 den limopreis auf >1,15 würde es schon erheblich komplizierter



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