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Analysis » Rationale und reelle Zahlen » Suche nach einem Bruch
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Universität/Hochschule Suche nach einem Bruch
Frege23
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-23


Hallo miteinander!

Die Aufgabe lautet:


Bestimmen sie einen Bruch <math>\frac{q}{p}</math> mit <math>q, p \in \mathds{N}</math>, <math>p< 11000</math> und
<math>|(\frac{q}{p})^2 - 3| <10^{-8}</math>.

Klar ist mir, dass das Quadrat des Bruches  entweder 3,00000000???? oder 2,99999999??? sein muss.

Ebenso klar ist <math>\sqrt{3}</math> = 1,73205080 ....

So, da die Zahl im Nenner zwischen 10999 und 10001 liegen muss, kann der Zähler auch nur 5 Stellen lang sein.

Daraus folgerte ich zuerst, dass der Zähler entweder 17320 oder 17321 lauten muss.

<math>17320^2 = 2,999824</math>

<math>17321^2 = 3,00017041</math>

Habe nun fleißig ausprobiert, komme aber auf keinen Dezimalbruch mit genügend Nullen/ Neunen hinter dem Komma. Dann habe ich rumprobiert und mir ist aufgefallen, dass man sich eher annähert, wenn der Zähler wächst. Das bislang beste Ergebnis habe ich mit 17343 als Zähler und 10013 als Nenner bekommen (immerhin 5 Nullstellen). Leider ist es auch so, dass die Werte immer mal wieder näher und ferner liegen, so dass man sich nicht grob annähern kann.


Stupides Rumprobieren ist mir aber gelinde gesagt zu dumm und zeitintensiv. Gibt es irgendeinen Trick wie ich dennoch p und q bestimmen kann?


Alles Gute!



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-23


So angepasst wink
ich nehme mal "einen Bruch bestimmen" wörtlich. Der Abstand zwischen (p/q)² und 3 soll kleiner als 10^(-8) sein. Hier bietet es sich an die Wurzel aus 3 mit Hilfe des Intervallschachtelungsverfahren zu approximieren bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.
Das heißt:
Die Wurzel aus 3 liegt zwischen 1 und 2; 1²=1, 2²=4. 2 ist zu groß, also wählen wir die 1.
1.7²=2.89 ist zu klein, 1.8²=3.24 zu groß, also nehmen wir 1.7
... und das solange, bis wir die Gewünschte Genauigkeit erreicht haben.
Alternativ wäre die Aufgabe natürlich auch mit Hilfe des Heron-Verfahrens bzw. Newton-Verfahrens (falls schon durchgenommen) lösbar.


-----------------
h=6,626⋅10^-34 Js



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-10-23


Hi Frege23,
solche Brüche kann man mit Hilfe einer Kettenbruchentwicklung finden.
fed-Code einblenden
wobei dieser Kettenbruch beliebig weit fortgesetzt werden kann und vor den Pluszeichen abwechselnd die Zahlen 1 und 2 stehen.
Näherungsbrüche für √3 bekommt man, indem man diesen Kettenbruch nach endlich vielen Schritten abbricht.
Einer davon eignet sich für die Erfüllung der zusätzlichen Bedingungen, die in dieser Aufgabe gestellt wurden.
Der Zusammenhang dieser Aufgabe mit Kettenbrüchen ist dem Aufgabensteller natürlich bekannt, jedoch ist es leider so, dass er dieses Wissen nicht zur Verfügung stellen möchte und sich daran erfreut, seine Schüler im Dunkeln tappen zu lassen. Das ist kein gutes Vorgehen eines Lehrers.
Gruß Buri



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Frege23
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-23


2017-10-23 19:48 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 1 schreibt:
So angepasst wink
ich nehme mal "einen Bruch bestimmen" wörtlich. Der Abstand zwischen (p/q)² und 3 soll kleiner als 10^(-8) sein. Hier bietet es sich an die Wurzel aus 3 mit Hilfe des Intervallschachtelungsverfahren zu approximieren bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.
Das heißt:
Die Wurzel aus 3 liegt zwischen 1 und 2; 1²=1, 2²=4. 2 ist zu groß, also wählen wir die 1.
1.7²=2.89 ist zu klein, 1.8²=3.24 zu groß, also nehmen wir 1.7
... und das solange, bis wir die Gewünschte Genauigkeit erreicht haben.
Alternativ wäre die Aufgabe natürlich auch mit Hilfe des Heron-Verfahrens bzw. Newton-Verfahrens (falls schon durchgenommen) lösbar.

Keines der beiden Verfahren wurde bis jetzt behandelt. Außerdem frage ich mich, ob diese Verfahren wirklich natürliche Zahlen liefern.



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Frege23
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-23


2017-10-23 20:05 - Buri in Beitrag No. 2 schreibt:
Hi Frege23,
solche Brüche kann man mit Hilfe einer Kettenbruchentwicklung finden.
fed-Code einblenden
wobei dieser Kettenbruch beliebig weit fortgesetzt werden kann und vor den Pluszeichen abwechselnd die Zahlen 1 und 2 stehen.
Näherungsbrüche für √3 bekommt man, indem man diesen Kettenbruch nach endlich vielen Schritten abbricht.
Einer davon eignet sich für die Erfüllung der zusätzlichen Bedingungen, die in dieser Aufgabe gestellt wurden.
Der Zusammenhang dieser Aufgabe mit Kettenbrüchen ist dem Aufgabensteller natürlich bekannt, jedoch ist es leider so, dass er dieses Wissen nicht zur Verfügung stellen möchte und sich daran erfreut, seine Schüler im Dunkeln tappen zu lassen. Das ist kein gutes Vorgehen eines Lehrers.
Gruß Buri

Der Lehrer ist Dozent und das ist die erste Aufgabe des ersten Übungsblattes. Leider bin ich nie mit Kettenbrüchen in Berührung gekommen.



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-10-23


2017-10-23 21:50 - Frege23 in Beitrag No. 3 schreibt:
2017-10-23 19:48 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 1 schreibt:
So angepasst wink
ich nehme mal "einen Bruch bestimmen" wörtlich. Der Abstand zwischen (p/q)² und 3 soll kleiner als 10^(-8) sein. Hier bietet es sich an die Wurzel aus 3 mit Hilfe des Intervallschachtelungsverfahren zu approximieren bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.
Das heißt:
Die Wurzel aus 3 liegt zwischen 1 und 2; 1²=1, 2²=4. 2 ist zu groß, also wählen wir die 1.
1.7²=2.89 ist zu klein, 1.8²=3.24 zu groß, also nehmen wir 1.7
... und das solange, bis wir die Gewünschte Genauigkeit erreicht haben.
Alternativ wäre die Aufgabe natürlich auch mit Hilfe des Heron-Verfahrens bzw. Newton-Verfahrens (falls schon durchgenommen) lösbar.

Keines der beiden Verfahren wurde bis jetzt behandelt. Außerdem frage ich mich, ob diese Verfahren wirklich natürliche Zahlen liefern.
Natürliche Zahlen erhälst du für p und q auf jeden Fall, da durch die Approximation rationale Zahlen diese reelle Zahl annähren.


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-10-23


2017-10-23 21:52 - Frege23 in Beitrag No. 4 schreibt:
Der Lehrer ist Dozent und das ist die erste Aufgabe des ersten Übungsblattes. Leider bin ich nie mit Kettenbrüchen in Berührung gekommen.

Deine Berührungsängste mit Kettenbrüchen sind hier vollkommen unangebracht, denn du sollst ja nicht mit dem unendlichen Kettenbruch rechnen, sondern einfach mit den "gewöhnlichen" Brüchen, welche entstehen, indem du den Teil, der nach einem Pluszeichen kommt, einfach weglässt bzw. 0 setzt.

Ich mach für dich mal den Anfang:

<math>1+0=1</math>
<math>1+\frac1{1+0}=2</math>
<math>1+\frac1{1+\frac1{2+0}}=\frac53</math>
usw. usf.

Alles klar?  biggrin



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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Frege23
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-23


Ich verstehe nicht wie mir die Intervallschachtelung weiterhilft? Klar, ich kann mich damit an die Wurzel 3 rantasten, aber den Wert kann ich auch so ausrechnen. Zumal ich dann ja noch einen passenden Nenner wählen muss!



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-10-23


Hallo Frege23,

rechne doch mal aus:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

usw.

Vielleicht wirst du erstaunt sein.

@Buri: Das didaktische Vorgehen des Dozenten finde ich evtl. gar nicht so unklug. Erst einmal die Studenten knobeln lassen... Der Aha-Effekt ist dann wahrscheinlich wesentlich größer als wenn ihren gleich die gesamte Theorie vorgekaut wird.

Grüße
StrgAltEntf

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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Frege23
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-23


Danke erst einmal. Ich übe gerade das Rechnen mit Kettenbrüchen.


Aus

fed-Code einblenden


wird

fed-Code einblenden


(Bei diesem Schritt bin ich mir sicher.)


fed-Code einblenden


Das ist natürlich falsch, aber woher kommt <math>+\frac{1}{1}</math> neben die 2 her? Ich meine die 1 geht zweimal in 2, dabei bleibt kein Rest über.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-10-24


2017-10-23 23:18 - Frege23 in Beitrag No. 9 schreibt:
Das ist natürlich falsch, aber woher kommt <math>+\frac{1}{1}</math> neben die 2 her? Ich meine die 1 geht zweimal in 2, dabei bleibt kein Rest über.

Anscheinend deutest du die 3 Brüche in #8 als Umformungen des ersten davon. Wenn ich damit richtig liege, ist das natürlich falsch: Diese 3 Brüche sind alle verschieden und man erhält sie, indem man den Kettenbruch an verschiedenen Stellen abbricht. Wie ich in meinem Beitrag #6 schon geschrieben habe, bedeutet "Abbrechen", dass man den ganzen Ausdruck, welcher in dem Kettenbruch nach einem der Pluszeichen kommt, durch 0 ersetzt. Man erhält dadurch mehr oder weniger gute Approximationen der <math>\sqrt 3</math>, und zwar umso "bessere", je "später" man den Kettenbruch abbricht.



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-10-24


2017-10-23 21:50 - Frege23 in Beitrag No. 3 schreibt:
Keines der beiden Verfahren wurde bis jetzt behandelt.

Naja - Heron ist Schulwissen und wird in der 8. Klasse behandelt. Dass dieses Verfahren (ich meine ich hatte Startwert 1 gewählt) zum Erfolg führt, hatte ich dort mal ausgeführt.

Link(q/p)² < 3 + 10^(-8) ,aber mit natürlichen Zahlen?

Gruß,

Küstenkind



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